独立性检验的基本思想及其初步应用

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1、3.2独立性检验的基本思想及其初步应用高二数学选修2-3第三章统计案例独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965探究:为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表分类变量1．下面是一个2×2列联表：y1y2总计x1a2173x222527总计b46100则表中a、b的值分别为()A．94、96B．52、50C．

2、52、54D．54、52C吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965探究:为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是吸烟者和不吸烟者都可能患肺癌，吸烟者患肺癌的可能性较大0.54%2.28%分类变量42/7817通过图形直观判断两个分类变量是否相关：等高条形图在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是0.54%2.28%上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观

3、点来考察这个问题。现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于P(AB)=P(A)P(B).因此

4、ad-bc

5、越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；

6、ad-bc

7、越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+

8、c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+dn=a+b+c+d独立性检验在不吸烟者中不患肺癌的比重是在吸烟者中不患肺癌的比重是H0：假设吸烟和患肺癌没有关系独立性检验H0：假设吸烟和患肺癌没有关系构造随机变量(卡方统计量)作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准。若H0(吸烟和患肺癌没有关系)成立，则K2应该很小.独立性检验H0：假设吸烟和患肺癌没有关系吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965随机变量-----卡方

9、统计量0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828临界值表0.1%把握认为A与B无关1%把握认为A与B无关99.9%把握认A与B有关99%把握认为A与B有关90%把握认为A与B有关10%把握认为A与B无关即在成立的情况下，K2大于6.635概率非常小，近似为0.01现在的K2≈56.632的观测值远大于6.635，小概率事件的发生说明假设H0不成立！0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.

10、7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828临界值表独立性检验H0：假设吸烟和患肺癌没有关系所以吸烟和患肺癌有关！1．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，说法正确的是()A．k越大，“X与Y有关系”可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小D．k越大，“X与Y无关”程度越大B独立性检验基本的思想类似反证法(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下随机变量K2应该很能小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.(3)根据随机变量K2的含义,可

11、以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.反证法原理与假设检验原理反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；2.如果样本使得这个小概