高中数学 1.1.1正弦定理导学案（含解析）新人教版必修5 (2)

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1、第一章第1.1.1节：正弦定理Ａ．学习目标让学生从已有的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同事通过三角函数，向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。Ｂ．学习重点、难点重点：正弦定理的探索、证明及基本应用；难点：正弦定理应用中“已知两角和其中一边的

2、对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。Ｃ．学法指导通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力。D．知识链接本节内容安排在第一章正弦定理第一课时，是在学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。E．自主学习[提出问题]如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2，问题1：△ABC的

3、其他边和角为多少？提示：∠B＝60°，∠C＝90°，a＝1，b＝.问题2：试计算，，的值，三者有何关系？提示：＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是．如图sinA＝，∴＝c.sinB＝，∴＝c.∵sinC＝1，∴＝＝.问题4：在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝，试求其他边和角．提示：如图，△ACD为直角三角形，∠C＝30°AC＝，则AD＝，CD＝，BC＝3.AB＝，∠BAC＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足．问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗

4、？提示：都成立．[导入新知]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.2．解三角形一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边

5、角关系的转化．F.合作探究已知两角及一边解三角形[例1]　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.[解]　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由＝得，b＝＝＝4，由＝得，c＝＝＝＝4(＋1)．∴A＝45°，b＝4，c＝4(＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋

6、30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.由＝得a＝＝＝10.由＝得b＝＝＝20sin75°，∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，∴b＝20×＝5＋5.已知两边及一边的对角解三角形[例2]　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．[解]　∵＝，∴sinC＝＝＝，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝

7、＝＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.[类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]2．在△ABC中，若c＝，C＝，a＝2，求A，B，b.解：由＝，得sinA

8、＝＝.∴A＝或A＝π.又∵c＞a，∴C＞A，∴只能取A＝，∴B＝π－－＝，b＝＝＝＋1.判断三角形的形状[例3]　在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC．试判断△ABC的形状．