高中数学必修5自主学习导学案：1.1.1正弦定理

《高中数学必修5自主学习导学案：1.1.1正弦定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§1.1.1正弦定理（教师版）1．新课引入我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边．角关系准确量化的表示呢？思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系如何？在中，，，，思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？（1）若三角形是锐角三角形分析：过点C作CD⊥AB于D,此时有，，所以CD=asinB=bsinA,即，同理可得，（2）若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?2．正弦定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等．即．证明：（外接圆法）作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,，，，，同理，，3．对正弦定理的理解（1）正弦定理说

2、明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，该正数为，（2）正弦定理的基本作用为：①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.②已知两角和一边，求其他角和边.（3）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．4．正弦定理的常见公式变形(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)＝，＝，＝；(3)＝＝＝；(4)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(5)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(6)A

3、AB于D，此时有，，同理可得．※典型例题考点1：已知两角和任意边，求其他两边和一角（唯一解）【例1】在中，已知，，，解三角形．分析：可先由A＋B＋C＝180°求出角C，再用正弦定理求出b和c.解：由题意，，由正弦定理，得，解得：，．变式1．（1）在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求b.（2）在中，已知，，cm，解三角形．解析：（1）∵A＋B＋C＝180°，∴C＝180°－45°－30°＝105°，∴sinC＝sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝.∵＝，∴b＝＝＝＝＝5(－)．（2）由题意，，由正弦

4、定理，得，解得：，．考点2：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角（解的情况：无解、一解、两解）【例2】在△ABC中，，，，求，和．解答：∵△ABC中，，，，∴利用正弦定理可得：，∴∵C∈(0,π)，∴或当时，，∵，；当时，，∵，．变式2．（1）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．（2）在．解答：∵△ABC中，，，，∴利用正弦定理可得：，∴．∵C∈(0,π)，，∴，∴，．变式3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，A＝30°，解这个三角形．分析：本题考查正弦定理，已知两边和其中一边的对角，求另外的边和角，可利用正弦定理结合三角形内角和定理解决．解析：由＝，得sinB＝

5、＝＝.∵aA＝30°，∴B为锐角或钝角，∴B＝45°或B＝135°.(1)当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°.∵＝，∴c＝＝＝＝＋1.(2)当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°.∴c＝＝＝＝－1.综上可得B＝45°，C＝105°，c＝＋1或B＝135°，C＝15°，c＝－1.考点3．讨论三角形解的个数已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，要注意根据两边和其中一边的对角之间的关系对三角形解的个数进行判断，可能有一解、两解或无解，否则可能导致错误．在△ABC中，已知a，b，A，以点

6、C为圆心，以边长a为半径画弧，与除去顶点A的射线AB交点的个数即为三角形解的个数，其解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系ab解的个数012101【例3】在△ABC中，分别根据下列条件指出解的个数．(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝60°；(3)a＝，b＝，B＝120°；(4)a＝，b＝，A＝60°.解析：(1)∵ab，A<90°，∴B90°，a>b，∴无解．(4)a

7、＝，∵a0)，判断此三角形解的个数．解析：由于b是不确定的边长，无法知道a与b的大小关系，即无法判断B是锐角还是钝角，这就需要对x的取值进行分类讨论．解法一：当0