高三数学大一轮复习讲义 7.1不等关系与不等式 理 新人教a版

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1、§7.1　不等关系与不等式2014高考会这样考　1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较；2.考查和函数、数列等知识的综合应用．复习备考要这样做　1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用；2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧．1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．两个实数比较大小的方法(1)作差法(a，b∈R)；(2)作商法(a∈R，b>0)．3．不等式的

2、性质(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．[难点正本　疑点清源]1．在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a

3、两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石．(2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用．(3)不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c，选择中间量b，在证出a>b，c>b后，就误认为能得到a>c.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由a>b，c>d，可以得出a＋c>b＋d，但不能得出a－c>b－d.2．理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应

4、引起高度注意，要注意强化．(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算．(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件．如a>b、c>d在什么条件下才能推出ac>bd.(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系．1．已知a>b>0，且c>d>0，则与的大小关系是______________．答案　>解析　∵a>b>0，c>d>0，∴>>0，∴>.2．已知a<0，－1ab2>a解析　由－1

5、b2<1.又a<0，∴ab>ab2>a.3．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是(　　)A．v<40km/hB．v>40km/hC．v≠40km/hD．v≤40km/h答案　D4．(2011·浙江)设a，b为实数，则“00，b>0时，b<；当a<0，b<0时，b>.∴“0

6、<1”是“b<”的不充分条件．而取b＝－1，a＝1，显然有b<，但不能推出0b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②acloga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是(　　)A．①B．①②C．②③D．①②③答案　D解析　根据不等式的性质构造函数求解．∵a>b>1，∴<.又c<0，∴>，故①正确．构造函数y＝xc.∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数．又a>b>1，∴ac

7、b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.∵a>b>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．题型一　不等式性质的应用例1　已知－<α<β<，求，的取值范围．思维启迪：不等式性质的应用是本题的突破点．解　因为－<α<β<，所以－<<，－<<.所以－<<，－<－<.因为α<β，所以<0.故－<<0.探究提高　(1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件α<β；(2)注意“α－β”形式，利用不等式要正确变形．已知－1

8、y<4且2