高三数学二轮复习讲座6 应用题归类分析及应对策略

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1、应用题归类分析及应对策略一、试题特点2011全国35套(不包括江苏)试卷的应用题中，只有考查湖北、湖南理考查了分段函数，湖南文考查了数列应用题，山东考查了函数与导数，上海浙江没有应用题（含概率），其余省市都是考查了概率与统计.2010全国36套(不包括江苏)试卷的应用题中，只有陕西(理)、福建(文、理)考查了解三角形，其余省市都是考查了概率与统计.2009全国36套(不包括江苏)试卷应用题中，只有湖北(文)考查了基本不等式（函数），福建（理）、辽宁、宁夏考查了解三角形,上海考查函数，其余都是概率与

2、统计.2011年－2003年江苏高考应用题类型：2011包装盒问题（几何背景：实则为几何问题代数化）2010　测量问题：几何背景：解直角三角形与基本不等式填空题14　函数与导数的应用2009　利润问题：基本不等式　销售背景：2008　几何最值（费马点）问题：函数与导数（几何背景：几何问题代数化）2007　概率2006　体积最值问题：函数与导数（几何背景：几何问题代数化）2005　概率2004　线性规划2003　概率数学应用题的发展趋势：越来越去生活化，数学化，实际建模的要求越来越低.江苏高考的应用

3、题，06（蒙古包体积问题）、08（费马点距离问题）、10（解三角形测量问题）、11（包装盒体积问题）年都是几何背景，只有09年是销售问题（买进与卖出）.其中08（费马点距离问题）、10（解三角形测量问题）、11（包装盒体积问题）题目给出自变量，06（蒙古包体积问题）、09（销售问题买进与卖出）需要学生自己变量.数学应用性问题是江苏历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型.解答这类问题有一个宏观的解题程序表：步骤1：将一个实际问题转化为一个数学问题，进行数学化设计.步骤2：将一个数学问

4、题化归为一个常规问题，进行标准化设计.步骤3：求解常规数学问题或是解方程、或是证明(求解)不等式、或是函数求极值、或是几何求值、几何论证、或是解三角形等等.很多情况下，步骤之间没有明显的界线，是环环相扣、一气呵成.但仅仅有这个表或者告诉学生这个解题程序，学生是不会解题的，因为能否很好得完成步骤1反映了学生的数学素养，能否很好得完成步骤2反映了学生的数学技能，数学技能可以通过一定的训练形成，但数学素养不是几节课或是几天课就能形成的，它需要长期的有意识的培养才能较好地形成.学生不能完成步骤1，那完成后

5、面的步骤就无从谈起.因此我们在平常的教学中，应时刻关注学生素养的培养，同时还要把这个宏观的解题程序表细致化，使得应用题的解法具有较好的可操作性.仔细分析江苏高考应用题，除去概率题目外，其它的题目不论是函数、不等式、线性规划、三角，还是几何问题，都有一个共同的特征，那就是变量.函数与导数问题是单变元问题，线性规划是双变元问题，高中阶段的基本不等式问题是双变元问题，但由于两变元之间往往有一定的联系，所以其本质是单变元问题.因此要很好地解决应用性问题，心中首先应有强烈的变量意识，对学生来讲能从变元角度思

6、考问题，就等于抓住了解应用性问题的“牛鼻子”，若能再适当了解一些应用性问题的常见背景，那么解决应用性问题就更是如虎添翼了.所以在应用问题的复习教学中，应紧紧把握变元这条主线，这应该是应用题复习教学的重点，例题选择侧重于不同背景的问题，对于同一问题注重变式（背景变换）教学，以利于学生能更好得弄清各变元之间的关系，这应该是应用题复习教学的难点.“抓重点，变元思想是主线；破难点，变式教学是关键.”具体教学操作举例如下：教学路线图：从给定变元→选择变元；从给定模式→背景变换（变式教学）；从单一主元→多参变

7、元.例、有一块边长为4的正方形钢板，现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1.变换背景（变式教学）变式1:由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1解法1：由题中的三个重要信息，①切割、焊接；②材料浪费减少；③V2＞

8、V1（教学中在此要强调审题的重要性：审题要慢、要品）.只需把方法1中省余的材料裁成细条接在上面的长方体的上沿即可.解法2：为了制作简单，利于操作，只需如图分割钢板，则V2＝2×3×1=6>V1=解法3：如图分割钢板再焊接，也满足要求.则V2＝（2）2×=4>V1=变式2　现制作一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你重新设计切焊方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.(徐州期末）解：设容器的底面正方形边长为a，容器的高为h，下底面和四个侧面的面积和为S＝16，则由题意知a2+4ah