高三数学一轮复习 第1讲 椭圆教案

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1、第一讲椭圆一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与

2、两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．Ｐ特征式：．Ｆ１Ｆ２注：①若，则点的轨迹是线段的垂直平分线；Ｐ②若，则这样的点不存在．（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距Ｆ离的比是常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率．特征式：．（二）椭圆的方程（1）椭圆的标准式方程：①；（焦点在轴的平行线上，中心在的椭圆方程）②．（焦点在轴的平行线上，中心在的椭圆方程）（2）椭圆的参数方程：①；注：角不是．②．（3）椭圆的向量式方程：．（三）性质：对于椭圆而言

3、，①范围：，，椭圆落在组成的矩形中．②对称性：图象既关于轴对称，又关于轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．③顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．，；加两焦点共有六个特殊点．叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴，长分别为．分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．④离心率：椭圆焦距与长轴长之比．注：椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例；，椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例．⑤椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线；对于，下准线；上准线．⑥焦准距：焦点到准线的距离（

4、焦参数）．⑦通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为．⑧焦半径公式：焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式：（左焦半径）；（右焦半径）；Ｐ焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：（下焦半径）；（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）Ｆ２Ｆ１⑨焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；．（如何证明？）（四）椭圆系方程（焦点在轴的上，中心在原点）（1）共焦点的椭圆系：注：若，则表示共焦点的双曲线系．（2）离心率相同的椭圆系：．注：若，则表示共渐进线的双曲线系．三、精典例析（一）活用定义例1：椭圆上有一点Ｐ它到椭圆的左准线距离为10，求点Ｐ到椭圆的右焦

5、点的距离．解析：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为：；再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12．例2：方程表示什么曲线？解析：设，则原方程等价于：，即：到定点的距离与它到定直线的距离之比为，故原方程表示以定点为焦点，以定直线为准线的椭圆．例3：定点是的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点．DP（1）求的范围；P1AH（2）求的最小值．P2Ｆ1Ｆ2解析：∵是的焦点，∴．（1）．（2）．引申：也适用于双曲线、抛物线．例4：求过定点，以轴为准线、离心率为的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程．解析：设，则：，，且，故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹

6、方程是．（二）焦半径公式例5：椭圆，其上一点到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程．解析：由椭圆的焦半径公式，得：，解得：．故所求椭圆方程为：．例6：已知Ｐ为椭圆上的点，且Ｐ与的连线互相垂直，求Ｐ．解析：由题意，得：＝64，，∴Ｐ的坐标为．例7：椭圆上能否找到一点，使得到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？解析：椭圆的左准线是，若存在，设，则：或，∵，故不存在符合条件的点．例8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．解析：设椭圆方程为，焦半径是圆的直径，则：，∴两圆半径之差等于圆心距．故

7、以线段为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．（三）焦点三角形P曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．例9：证明：椭圆的焦点三角形中，Ｆ２Ｆ１．解析：在中，，∴，∴；在中，，∴．例10：已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且是和的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点Ｐ在第三象限，且，求．Ｆ1Ｆ2P解析：（1）∵是和的等差中项．∴，∴，∴．∴椭圆的方程为．（２）设，则，∵，∴．∴∴，故，．（四）对称问题例11：在直线任取一点，过Ｍ且以的焦点为焦点作椭圆，问Ｍ在何处时，所作椭圆的长轴长最

8、短？并求出此椭圆．ＭＦ/2解析：法1：待求椭圆的，其