九年级数学下册 3.3 垂径定理导学案（新版）北师大版

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1、垂径定理【学习目标】课标要求：1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．目标达成：1.培养学生类比分析，猜想探索的能力．2.通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．学习流程：【课前展示】1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？【创境激趣】1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，

2、其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．【自学导航】1、阅读教材74--77页的内容。2、思考过圆内一点的最短弦和最长弦及勾股定理的运用。【合作探究】1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④=；⑤=.证明：连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD

3、对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,和重合,和重合.∴=，=.2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBA注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件：①CD是直径；②AM

4、=BM结论（等量关系）：③CD⊥AB；④=；⑤=.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？ODBAC反例：【展示提升】典例分析知识迁移1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．∵OE⊥CD根据勾股定理，得OC²=C

5、F²+OF²即R²=300²+(R-90)².解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.【强化训练】1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．3．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；OCDBAOCDBAOCDBA（3）圆心在平行弦内．【归纳总结】学生交流总结1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦

6、的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.【板书设计】标题【教学反思】1．要从培养学生学习方法的角度使用教材教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于如何证明垂径定理，这时通过类比等腰三角形的轴对称性，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向．这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力．2．要鼓励学生敢于表述和善于纠错垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的

7、机会．因此，应该让学生大胆表述，并对各人的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼．