(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.3 课时1 坐标系 理

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1、课时1 坐标系1.平面直角坐标系设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面上取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点,射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对

2、(ρ,θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径ρ=0,极角θ可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面关系式成立:或.这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρ=r(0≤θ<2π)圆心为(r,0),半

3、径为r的圆ρ=2rcos_θ(-≤θ<)圆心为(r,),半径为r的圆ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)过极点,倾斜角为α的直线θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)过点(a,0),与极轴垂直的直线ρcosθ=a(-<θ<)过点(a,),与极轴平行的直线ρsin_θ=a(0<θ<π)1.求在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线方程.解 点(2,)在直角坐标系下的坐标为(2cos,2sin),即(0,2).∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y=2.即为ρsinθ=2.2.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐

4、标分别为(3,)、(4,),求△AOB(其中O为极点)的面积.解 由题意知A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),则△AOB的面积S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=×3×4×sin=3.3.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.当△AOB是等边三角形时,求a的值.解 由ρ=4sinθ可得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.由ρsinθ=a可得y=a.设圆的圆心为O′,y=a与x2+(y-2)2=4的两交点A,B与O构成等边三角形,如图所示.由对称性知∠O′

5、OB=30°,OD=a.在Rt△DOB中,易求DB=a,∴B点的坐标为(a,a).又∵B在x2+y2-4y=0上,∴(a)2+a2-4a=0,即a2-4a=0,解得a=0(舍去)或a=3.题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程.(2)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C1和C2交点的直角

6、坐标.解 (1)∵∴y=1-x化成极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρ=.∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤.(2)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρsin2θ=cosθ,得ρ2sin2θ=ρcosθ,所以曲线C1的直角坐标方程为y2=x.由ρsinθ=1,得曲线C2的直角坐标方程为y=1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1).思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐

7、标方程比较容易,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换. (1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程.(2)求在极坐标系中,圆ρ=2cosθ垂直于极轴的两条切线方程.解 (1)将x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入x2+y2-2x=0,得ρ2-2ρcosθ=0,整理得ρ=2cosθ.(2)由ρ=

8、2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,其垂直于x轴的两条切线方程为x=0和x=2,相应的极坐标方程为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2.题型二 求曲线的极坐标方程例2 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出曲线C的方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标

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