（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时1 相似三角形的进一步认识 理

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1、课时1　相似三角形的进一步认识1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．2．平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形

2、相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．1．如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明　由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.2．如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD

3、＝3，求EC的长度．解　在Rt△ADB中，DB＝＝，依题意得，△ADB∽△ACE，∴＝，可得EC＝＝2.3．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值．解　如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即EF为△BDG的中位线，故BF＝FG，因此＝.题型一　平行截割定理的应用例1　如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE·KF.证明　延长CK，BA，设它们交于点H，因为KO∥HB，所以＝，＝.

4、因此＝，即＝.因为KF∥HB，同理可得＝.故＝，即KO2＝KE·KF.思维升华　当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．　(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF的长度．(2)如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，求AB的长．解　(1)∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝.∵

5、OE∥AD，∴＝＝.∴OE＝AD＝×12＝，同理可求得OF＝BC＝×20＝，∴EF＝OE＋OF＝15.(2)∵DE∥BC，∴＝＝＝，＝.又∵EF∥CD，∴＝＝.∴AD＝3.∴AB＝AD＝.题型二　相似三角形的判定与性质例2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明　∵E是Rt△ACD斜边上的中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△F

6、BD∽△FDC，∴＝，∴FD2＝FB·FC.思维升华　(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．　(1)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的长．(2)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连结BD，EC.若BD∥EC，求四边形ABCD的面积．解　(1)∵BC∥PE，∴

7、∠PED＝∠C＝∠A，∴△PDE∽△PEA，∴＝，则PE2＝PA·PD，又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.∴PE＝＝.(2)如图，过点E作EN⊥DB交DB的延长线于点N，在Rt△DFB中，DF＝3，FB＝1，则BD＝，由Rt△DFB∽Rt△ENB，知＝，所以EN＝，又BD∥EC，所以EN为△BCD底边BD上的高，故S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DF＋BD·EN＝×3×3＋××＝6.题型三　射影定理的应用例3　如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC的长．解　在△ABC中，设

8、AC为x，∵AB⊥AC，