2016届高考数学一轮总复习 8.8曲线与方程练习

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1、第八节　曲线与方程(理)时间：45分钟　分值：100分一、选择题1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)A．一条直线和一条双曲线B．两条直线C．两个点D．4条直线解析　由(x－y)2＋(xy－1)2＝0得∴或即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．答案　C2．若M，N为两个定点，且

2、MN

3、＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析　∵·＝0，∴PM⊥PN.∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．答案　A3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且

4、PA

5、＝1，则P点的轨迹方程为(　　)A．y2＝2xB．(x

6、－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2解析　设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且

7、MA

8、＝1，又∵

9、PA

10、＝1，∴

11、PM

12、＝＝.即

13、PM

14、2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.答案　D4．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　)A.＋＝1(y≠0)　　B.＋y2＝1(y≠0)C.＋3y2＝1(y≠0)　　D．x2＋＝1(y≠0)解析　设P(x0，y0)、G(x，y)，由三角形重心坐标公式可得即代入＋＝1，得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．答案　C5．△ABC的顶点

15、A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x>3)D.－＝1(x>4)解析　如图，

16、AD

17、＝

18、AE

19、＝8，

20、BF

21、＝

22、BE

23、＝2，

24、CD

25、＝

26、CF

27、，所以

28、CA

29、－

30、CB

31、＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．答案　C6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析　设C(x，y)，则＝(x，y)

32、，＝(3,1)，＝(－1,3)，∵＝λ1＋λ2，∴又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．答案　A二、填空题7．已知点M与双曲线－＝1的左、右焦点的距离之比为23，则点M的轨迹方程为____________________．解析　可得双曲线的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，设点M(x，y)，则有＝，代入整理得x2＋y2＋26x＋25＝0.答案　x2＋y2＋26x＋25＝08．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．解析　设P(x1，y1)，PQ中点为M(x，y)，∵Q(0，－1)，∴∴∵P(x1

33、，y1)在曲线y＝2x2＋1上，∴y1＝2x＋1.∴2y＋1＝2(2x)2＋1，化简得y＝4x2.∴PQ中点的轨迹方程为y＝4x2.答案　y＝4x29．已知两定点A(－1,0)，B(2,0)，动点P满足＝，则P点的轨迹方程是__________．解析　设P(x，y)，则根据两点间距离公式，得

34、PA

35、＝，

36、PB

37、＝，又∵＝，∴＝.整理，得(x＋2)2＋y2＝4即为所求．答案　(x＋2)2＋y2＝4三、解答题10.如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C，试求轨迹C的方程．解　设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线M

38、A的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在．于是x≠1且x≠－1，此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，有·＝4，化简可得4x2－y2－4＝0.故动点M的轨迹C的方程是4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．11．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持

39、PA

40、＋

41、PB

42、的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)直线l：y＝x＋t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．解　(1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系，∵

43、PA

44、＋

45、PB

46、＝

47、CA

48、＋

49、CB

50、＝＋＝2>

51、AB

52、，∴动

53、点P的轨迹为椭圆，且a＝，c＝1，从而b＝1.∴曲线E的方程为＋y2＝1.(2)将y＝x＋t代入＋y2＝1，得3x2＋4tx＋2t2－2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴由①得t2<3，∴S四边形MANB＝

54、AB

55、

56、y1－y2

57、＝

58、y1－y2

59、＝

60、x1－x2

61、＝≤.所以四边形MANB的面积最大值是.1．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条(　　)A．过点