2016_2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课后演练提升北师大版

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1、2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(　　)A．l∥α　　　　　　　　　　B．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：　∵u＝－2a，∴a∥u.∴a⊥α，∴l⊥a，故选B.答案：　B2．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　)A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交

2、不垂直D．以上都不对解析：　＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，n·A＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·A＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，∴n⊥，n⊥.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.答案：　A3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)A．(1，－1,1)B.C.D.解析：　对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠

3、0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故选B.答案：　B4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：　以D为原点建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标方法证明·＝0即可．答案：　B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：　∵α∥β，∴u1∥u2.∴＝＝.∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.答案：　－36．已知

4、△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．解析：　如右图：DA⊥平面ABC，且∠BAC＝90°如图建系：采用向量法易证：·＝0答案：　垂直三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.证明：　证法一：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则A(0,0,0)，B，C1(0，a，b)，B1，D.＝，＝，＝.设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥，得∴取y＝1，得n＝.由1

5、·n＝·＝0，得⊥n，即AB1∥平面DBC1.证法二：如图所示，记＝a，＝b，＝c，则＝a＋c，＝－＝a－b，＝＋＝b＋c.∴＋＝a＋c＝，∴，，共面．又∵AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥面B1AC.证明：　证法一：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为2，则有A(2,0,0)、B1(2,2,2)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)，∴＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)，＝(－1，－1,1)，∴·＝(－1，－1,1)

6、·(0,2,2)＝0－2＋2＝0⇔⊥，·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0⇔⊥，即EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC＝A，∴EF⊥面B1AC.证法二：建系如证法一，设面B1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，由⇔，令x＝1可得：y＝1，z＝－1，∴n＝(1,1，－1)＝－⇒n∥，∴EF⊥面B1AC.☆☆☆9．(10分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在△PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.解析

7、：　(1)证明：∵M是PC的中点，取PD的中点E，则ME綊CD，又AB綊CD，∴四边形ABME是平行四边形．∴BM∥EA，BM⊄平面PAD，EA⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，M(1,1,1)，E(0,1，1)．在平面PAD内设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)，＝(1,0，－2)，＝(1，－2,0)．∵⊥，⊥，∴·＝－1－2z＋2＝0.·＝－1－2y＋2＝0.∴y＝，z＝，

8、N，∴N是AE的中点．∴当点N是△PAD边PD中线上的中点时，MN⊥平面PBD.