2019版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第35讲基本不等式学案

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1、第35讲　基本不等式考纲要求考情分析命题趋势1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2016·江苏卷，142015·全国卷Ⅰ，122015·福建卷，6对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.分值：5分1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：__a>0，b>0__.(2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号．2．几个重要的不等式：(1)a2＋b2≥__2ab__(a，b∈R)．(2)＋≥__2__(a，b同号)．(3)ab≤2(a，

2、b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为____，几何平均数为____，基本不等式可叙述为__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__.4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当__x＝y__时，x＋y有最__小__值是__2__(简记：积定和最小)；(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当__x＝y__时，xy有最__大__值是____(简记：和定积最大)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y＝x＋的

3、最小值是2.(　×　)(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(　×　)(3)x＞0，y＞0是＋≥2的充要条件．(　×　)(4)若a＞0，则a3＋的最小值为2.(　×　)解析(1)错误．因为x没有确定符号，所以不能说最小值为2.(2)错误．利用基本不等式时，等号不成立．(3)错误．不是充要条件，当x<0，y<0时也成立．(4)错误．最小值不是定值，故不正确．2．已知m＞0，n＞0，且mn＝81，则m＋n的最小值为(　A　)A．18　　B．36　　C．81　　D．243解析∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n

4、＝9时，等号成立．3．若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为(　A　)A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)　　　　B．(－∞，－4]C．[4，＋∞)　　　　D．[－4,4]解析M＝＝a＋，当a>0时，M≥4；当a<0时，M≤－4.4．若x＞1，则x＋的最小值为__5__.解析x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．5．若x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝＋的最小值为__2__.解析由已知条件lgx＋lgy＝1，可知xy＝10.则＋≥2＝2，故min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10.即

5、x＝2，y＝5时等号成立．一　利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【例1】(1)已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：≥8.(2)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明(1)

6、∵x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，∴≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．二　利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出

7、积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解．【例2】(1)已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　B　)A．　　B．　　C．　　D．(2)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　C　)A．1＋　　B．1＋　　C．3　　D．4解析(1)∵02，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时，等号成立，∴x＝1或3.又∵x>2，∴x＝

8、3，即a＝3.【例3】(1)(2018·山东烟台期末)已知正实数x，y满足＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　B　)A．(－2,4)　　B．(－4,2)C．(－∞，2]∪[4，＋∞)　　D．(－