同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(3)

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1、习题8-81.求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值.解解方程组,求得驻点为(2,-2).fxx=-2,fxy=0,fyy=-2,在驻点(2,-2)处,因为fxxfyy-fxy2=(-2)(-2)-0=4>0,fxx=-2<0,所以在点(2,-2)处,函数取得极大值,极大值为f(2,-2)=8.2.求函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值.解解方程组,得驻点(0,0),(0,4),(3,2),(6,0),(6,4).函数的二阶偏导数为fxx(x,y)=-2(4y-y2),fxy(x,y)=4(3-x)(2-y),fyy(x,y)=-2(6x-x2).在

2、点(0,0)处,因为fxx×fyy-fxy2=0´0-242=-242<0,所以f(0,0)不是极值;在点(0,4)处,因为fxx×fyy-fxy2=0´0-(-24)2=-242<0,所以f(0,4)不是极值.在点(3,2)处,因为fxx×fyy-fxy2=(-8)´(-18)-02=8´18>0,fxx=-8<0,所以f(3,2)=36是函数的极大值.在点(6,0)处,因为fxx×fyy-fxy2=0´0-(-24)2=-242>0,所以f(6,0)不是极值.在点(6,4)处,因为fxx×fyy-fxy2=0´0-242=-242>0,所以f(6,4)不是极值.综上所述,函

3、数只有一个极值,这个极值是极大值f(3,2)=36.3.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.解解方程组,得驻点.fxx(x,y)=4e2x(x+y2+2y+1),fxy(x,y)=4e2x(y+1),fyy(x,y)=2e2x.在驻点处,因为fxx×fyy-fxy2=2e×2e-02=4e2>0,fxx=2e>0,所以是函数的极小值.4.求函数z=xy在适合附加条件x+y=1下的极大值.解由x+y=1得y=1-x,代入z=xy,则问题化为求z=x(1-x)的无条件极值.,.令得驻点.因为,所以为极大值点,极大值为.5.从斜边之长为l的一切直角三角形中,求有

4、最大周界的直角三角形.解设直角三角形的两直角边之长分别为x,y,则周长S=x+y+l(00,y>0,z>0).本题是在条件xyz=k下,求S的最大值.

5、作函数F(x,y,z)=xy+2xz+2yz+l(xyz-k).解方程组,得唯一可能的极值点.由问题本身可知S一定有最小值,所以表面积最小的水池的长和宽都应为高为.7.在平面xOy上求一点,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离平方之和为最小.解设所求点为(x,y),则此点到x=0的距离为

6、y

7、,到y=0的距离为

8、x

9、,到x+2y-16=0的距离为,而距离平方之和为.解方程组,即.得唯一的驻点,根据问题的性质可知,到三直线的距离平方之和最小的点一定存在,故即为所求.8.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积为最大

10、？解设矩形的一边为x,则另一边为(p-x),假设矩形绕p-x旋转,则旋转所成圆柱体的体积为V=px2(p-x).由,求得唯一驻点.由于驻点唯一,由题意又可知这种圆柱体一定有最大值,所以当矩形的边长为和时,绕短边旋转所得圆柱体体积最大.9.求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.解设球面方程为x2+y2+z2=a2,(x,y,z)是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点,则此长方体的长宽高分别为2x,2y,2z,体积为V=2x×2y×2z=8xyz.令F(x,y,z)=8xyz+l(x2+y2+z2-a2).解方程组,即,得唯一驻点.由题意可知这种长方体必有最大

11、体积,所以当长方体的长、宽、高都为时其体积最大.10.抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离.解设椭圆上点的坐标(x,y,z),则原点到椭圆上这一点的距离平方为d2=x2+y2+z2,其中x,y,z要同时满足z=x2+y2和x+y+z=1.令F(x,y,z)=x2+y2+z2+l1(z-x2-y2)+l2(x+y+z-1).解方程组,得驻点,.它们是可能的两个极值点,由题意这种距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值和最小值在两点处取得,因为