高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第二节解不等式(1) 文

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1、第二节解不等式不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明.不等式因它的基础性（是研究函数、方程、极限等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点.近几年，高考关于不等式的命题趋势是：（1

2、）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目；（2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性.在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道．考试要求（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式

3、，会设计求解的程序框图．（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．题型一：不等式的解法例1(2011上海理科20)已知函数，其中常数满足。⑴若，判断函数的单调性；⑵若，求时的取值范围。点拨；解不等式的基本思想方法是转化：一元二次不等式转化为一元一次不等式，分式不等式转化为整式不等式，指数与对数不等式（通过化“同底”）转化为代数不等式，抽象函数不等式（

4、通过单调性）转化为具体不等式等.本题是指数不等式，可通过化“同底”求解．解：⑴当时，任意，则∵，，∴，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。⑵当时，，则；当时，，则.易错点：对符号的讨论.变式与引申1：（1）不等式的解集是.（2）（2009年天津卷第8题）设函数则不等式的解集是（）ABCD题型二：含参数不等式的解法例2解关于的不等式．如果，不等式可化为，解得或.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；　当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；　当时，不等式的解集为．易错点：在规范化的过程中，

5、对可能为零视而不见；在已经规范化了之后，对不确定的根的大小关系不加区分.整体表现为不能有序地进行分类讨论.变式引申2：（1）解关于的不等式．（2）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x的不等式；题型三：不等式的恒成立问题例3已知函数．（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围点拨：不等式恒成立问题通常有以下处理方法：（1）分离参数法，将参数与变量进行分离，再转化为最值问题解决；（2）变换主元法，有些题分

6、离参数后很难求最值，可考虑变换思维角度，即主元与参数互换位置（3）数形结合法。本题分离参数后可求最值.解（1）.由已知，解得∵.（2）当即∵,∴在上恒成立,∴.又时,,故的取值范围是.易错点：（1）绝对值的处理方法不明确，找不到解题的突破口（2）指数运算不熟悉，不能正确地将参数与变量进行分离（3）能否取等号也是常见的错误.变式与引申3：（1）已知，当时，恒成立，求a的取值范围．（2）奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由.题型四：线性规划问题与

7、基本不等式例4（1）设满足则().图（A）有最小值2，最大值3（B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值（2）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为．点拨：（1）首先准确地作出线性约束条件下的可行域，再由y＝－x经过平移得到结论，这里关键就在于转化与化归．（2）找出定点的坐标，代入直线方程，得，由均值不等式得结果.解（1）画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小

8、值为：z＝2，无最大值，故选.B（2）函数的图象恒过定点,,，,∴.易错点：可行域画不准确，将y＝－x经过平移后得到的最优解不正确，变式与引申4：（1）(2011安徽文科数)设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.（A）1，1(B)2，2(C)1，2(D)2，1[（2）已知，则的最小值是（）A．2B．C．