高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第一节数列及其应用 文

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1、第一节数列及其应用数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题,对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前项和公式,对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间.考试要求（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、

2、等比数列的通项公式与前n项和公式.　③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.　④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.题型一等差、等比数列的概念与性质例1．已知等比数列中，各项都是正数，且、、2成等差数列，求;【点拨】依据等差中项的概念先求等比数列的公比，再利用等比数列的性质求值.【解】依题意可得：，即，则有可得，解得或（舍）所以;【易错点】（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3

3、）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算等量，一旦计算量大一点，解题受阻.变式与引申1：等差数列的前n项和为，公差.（1）求的值;（2）当为最小时，求的值.题型二：数列的通项与求和例2．（2011年全国卷理科第17题）等比数列的各项均为正数，且（Ⅰ）求数列的通项公式.（Ⅱ ）设求数列的前项和.【点拨】（1）等比数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据裂项相消求数列前项和.【解】

4、（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。（Ⅱ ）故所以数列的前n项和为【易错点】（1）没有注意条件a>0，公比计算错；（2）在求的通项公式时，遗漏了负号；不会将化为.变式与引申2已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）设的前n项和，求.3.等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记求数列的前项和.题型三：数列的实际应用例

5、3.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.(1)求数列和的通项公式；(2)求视力不小于5.0的学生人数；(3)设,求数列的通项公式.【点拨】（1）频率分布直方图是解决问题的关健；（2）已知前两项的频数，前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，可求，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项，，的前六项和可求，得，（3）求得、后，根据题

6、设条件，按递推公式求通项公式方法求出.【解】(1)由题意知因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以，又=100—(1+3+9)，所以=87,解得因此数列是一个首项,公差为—5的等差数列,所以(2)求视力不小于5.0的学生人数为(3)由①可知，当时，②①－②得，当时，,,又因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,数列的通项公式为.【易错点】（1）不理解的意义，解题找不到切入点；（2）计算数列的通项公式时忽略“全校100名学生”这个重要的已知条件，导致前两问的结果都不正确；（3）求出、后，由题设条件不能正确地找出

7、求的方法；（4）计算由①式变为②式时，缺少这个条件.变式与引申4：某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：2008年2009年2010年新植亩数100014001800沙地亩数252002400022400而一旦植完，则不会被沙化．问：（1）每年沙化的亩数为多少；（2）到那一年可绿化完全部荒沙地.题型四：数列综合题例4根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为，．（1）求数列的通项公式；（2）写出

8、，由此猜想出数列；的一个通项公式，并证明你的结论;（3）求．【点拨】（1）程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视；（2）由循环体写出数列的递推公式，再由递推公式求出数列的通项公式是解决问题的关健；（3）掌握错位相减法求数列的