高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第二节解不等式(2) 文

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1、第二节解不等式不等式是高中数学的传统内容,对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现,这类试题虽然难度不大,但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目;高考中涉及不等式的,更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体,综合考查不等式的解法和证明.不等式因它的基础性(是研究函数、方程、极限等必不可少的工具)、渗透性(容易与其它各部分知识结合在一起)、应用性(实际应用广泛),很自然地成为每年高考的热点.近几年,高考关于不等式的命题趋势是:(1)单纯不等式的题目

2、多以选择填空题的形式出现,若是解答题也是中等难度的题目;(2)高考中涉及不等式的,更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体,综合考查不等式的解法和证明,突出不等式的工具性.在高考试卷中,有关解不等式的试题一般有一到两道.考试要求(1)不等关系:了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.(2)一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.(3)二元一

3、次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.题型一:不等式的解法例1(2011上海理科20)已知函数,其中常数满足。⑴若,判断函数的单调性;⑵若,求时的取值范围。点拨;解不等式的基本思想方法是转化:一元二次不等式转化为一元一次不等式,分式不等式转化为整式不等式,指数与对数不等式(通过化“同底”)转化为代数不等式,抽象函数不等式(通过单调性)转化为具体不等式等.本题是指数不等式,可通

4、过化“同底”求解.解:⑴当时,任意,则∵,,∴,函数在上是增函数。当时,同理,函数在上是减函数。⑵当时,,则;当时,,则.易错点:对符号的讨论.变式与引申1:(1)不等式的解集是.(2)(2009年天津卷第8题)设函数则不等式的解集是()ABCD题型二:含参数不等式的解法例2解关于的不等式.如果,不等式可化为,解得或.综上,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为; 当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为; 当时,不等式的解集为.易错点:在规范化的过程中,对可能为零视而不见;在已经规范化了之后,对不确定的根的大小关系不加区分.

5、整体表现为不能有序地进行分类讨论.变式引申2:(1)解关于的不等式.(2)已知函数(a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k>1,解关于x的不等式;题型三:不等式的恒成立问题例3已知函数.(1)若,求的值;(2)若对于恒成立,求实数m的取值范围点拨:不等式恒成立问题通常有以下处理方法:(1)分离参数法,将参数与变量进行分离,再转化为最值问题解决;(2)变换主元法,有些题分离参数后很难求最值,可考虑变换思维角度,即主元与参数互换位置(3)数形结合法。本题分离参数

6、后可求最值.解(1).由已知,解得∵.(2)当即∵,∴在上恒成立,∴.又时,,故的取值范围是.易错点:(1)绝对值的处理方法不明确,找不到解题的突破口(2)指数运算不熟悉,不能正确地将参数与变量进行分离(3)能否取等号也是常见的错误.变式与引申3:(1)已知,当时,恒成立,求a的取值范围.(2)奇函数上是增函数,当时,是否存在实数m,使对所有的均成立?若存在,求出适合条件的所有实数m;若不存在,说明理由.题型四:线性规划问题与基本不等式例4(1)设满足则().图(A)有最小值2,最大值3(B)有最小值2,无最大值(C)有最大值3,无

7、最小值(D)既无最小值,也无最大值(2)函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为.点拨:(1)首先准确地作出线性约束条件下的可行域,再由y=-x经过平移得到结论,这里关键就在于转化与化归.(2)找出定点的坐标,代入直线方程,得,由均值不等式得结果.解(1)画出不等式表示的平面区域,如右图,由z=x+y,得y=-x+z,令z=0,画出y=-x的图象,当它的平行线经过A(2,0)时,z取得最小值,最小值为:z=2,无最大值,故选.B(2)函数的图象恒过定点,,,,∴.易错点:可行域画不准确,将y=-x经过平移后得到的最优解不

8、正确,变式与引申4:(1)(2011安徽文科数)设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算.(A)1,1(B)2,2(C)1,2(D)2,1[(2)已知,则的最小值是()A.2B.C.

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