高考数学一轮复习 第十三篇 推理证明、算法、复数 第2讲　直接证明与间接证明教案 理 新人教版

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1、第2讲　直接证明与间接证明【2013年高考会这样考】1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．【复习指导】在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．　　基础梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列

2、的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：→→→…→.2．间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．一个关系综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻

3、求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．双基自测1．(人教A版教材习题改编)p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　　)．A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定解析　q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时取等号．答案

4、　B2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(　　)．A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析　a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.答案　A3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)．A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析　∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．答案　D4．(2012·广州调研)设a、b∈R，若a－

5、b

6、＞0，则下列不等式中正确

7、的是(　　)．A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0解析　∵a－

8、b

9、＞0，∴

10、b

11、＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案　D5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．答案　∠BAP＝∠CAP　∠BAP＞∠CAP　　考向一　综合法的应用【例1】►设a，b，c＞0，证明：＋＋≥a＋b＋c.[审题视点]用综合法证明，可考虑运

12、用基本不等式．证明　∵a，b，c＞0，根据均值不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．即＋＋≥a＋b＋c.综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【训练1】设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：＋＞4.证明　＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.又a与b不相等．故＋＞4.考向二　分析法的应用【例2】►已知m＞0，a，b∈R，求证：

13、2≤.[审题视点]先去分母，合并同类项，化成积式．证明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．【训练2】已知a，b，m都是正数，且a＜b.求证：＞.证