高考数学一轮复习 2.2 函数值域的求法教案 新课标

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1、2.函数值域求法一、知识梳理：1、基本初等函数的值域：（1）一次函数的值域：R（2）反比例函数的值域：（3）二次函数的值域：时，；时，；二次函数在给定区间上的值域：由图象考虑取：（4）指数函数的值域：（5）对数函数的值域：R（6）幂函数的值域：时，值域为或，时，值域为，时，值域为或（7）三角函数的值域分别为：2、求函数值域的方法：（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（2）二次函数法：形如的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的

2、反函数的值域；（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；（10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。二、典例讨论：题型一。初等函数的复合函数：例1、求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）呢？（5）已知，求函数的值域。解：的定义域为，由此可得值域为[0，3]；题型二。其它函数例2、求下列函数的值域：（1）分子常数化法：点

3、评：适用一次分式函数型（2）反表示法：点评：类似地：（3）法：求函数y=值域　　　先因式分解，能约先约。解：∵，∴函数的定义域R，原式可化为,整理得，若y=1,即2x=0,则x=0；若y1,∵R，即有0，∴,解得且y1.综上：函数是值域是{y

4、}.点评：适用二次分式函数型，先因式分解，能约先约。（4）特殊地：基本不等式法，求导法：（5）配方法：解：，（6）换元法：换元法：三角换元法：（7）函数单调性法：用的单调性：点评：可用导数法求之（8）分段函数图象法：求y=

5、x+1

6、+

7、x-2

8、的值域.解：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y

9、y

10、3}.（9）几何意义法、数形结合：解：构造点得：点评：亦可用合一法解之。题型三。给定函数值域,求参数的取值范围例3、已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。解：，，因为值域为[0，2]，设，其，，所以，，验证：得四、课后作业：1．求下列函数的最值与值域：（1）y=2x-;(2)y=x+;(4)y=.解（1）方法一令=t(t≥0),则x=.∴y=1-t2-t=-（t+2+.∵二次函数对称轴为t=-,∴在［0，+∞）上y=-(t+2+是减函数，故ymax=-(0+2+=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二∵y=2x与y=-均为定

11、义域上的增函数，∴y=2x-是定义域为{x

12、x≤}上的增函数，故ymax=2×=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.(2)方法一函数y=x+是定义域为{x

13、x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.方法二任取x1,x2,且x1＜x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递

14、减.故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.（3）将函数式变形为y=,可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.ymin=

15、AB

16、=，可求得x=时，ymin=.显然无最大值.故值域为［，+∞）.2．若函数的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值www.ks5u.com