高考数学 第四节 数列求和教材

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1、第四节数列求和考点串串讲1．公式法求和常用求和公式Sn＝＝na1＋d；Sn＝＝n(n＋1)；2＝n(n＋1)(2n＋1)；3＝[n(n＋1)]2.2．错位相减法求和这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．用乘公比错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公

2、比q是否为1，应分两种情况讨论，这在高考中经常考查．3．倒序相加法求和将一个数列倒过来排列(倒序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．等差数列的求和公式Sn＝就是用倒序相加法推导出来的．4．分组转化法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并．5．裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．常见的裂项公式有：(1)＝－(2)＝(－)(3)

3、＝(4)＝(－)(5)C＝C－C(6)n·n！＝(n＋1)！－n!(7)an＝Sn－Sn－1(n≥2)(8)＝(－)(9)＝(－)如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如{}，其中{an}是等差数列，可尝试采用此法．使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．实质上，正负项相消是此法的根源和目的.典例对对碰题型一公式法求和例1设数

4、列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为(　　)A．2n　　　B．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2解析　解法一：特殊值法．由原数列知　S1＝1，S2＝4.在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有选项D.解法二：看通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2.故选D.答案　D点评　解法一对解答复杂的选择题有简化计算的作用，解法二利用通项an求Sn，为求和的通法.变式迁移1数列{an}的通项an＝n2－n，求前n项和Sn.解析　Sn＝(12－1)＋(22－2)＋…＋(n2－n)＝(12＋22＋…

5、＋n2)－(1＋2＋…＋n)＝－＝.题型二倒序相加法求和例2设f(x)＝，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值．解析　∵f(x)＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＝.设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]．∴原式＝{[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]}＝×1

6、2×＝3.点评　对等差数列倒序相加求和时利用了an＋a1＝an－1＋a2＝…，对于f(x)＝，由于f(x)＋f(1－x)＝，也可产生以上效果．可见类似这种可以将若干项和转化为某项积的求和方法实际上是抓住了数列(或解析式)的特点，利用“整体”运算简化求和的一种方法.变式迁移2数列{an}是公差为d，a0＝d的等差数列，求Sn＝a0C＋a1C＋…＋anC(n∈N*)．解析　Sn＝dC＋2dC＋3dC＋…＋ndC，①Sn＝ndC＋(n－1)dC＋(n－2)dC＋…＋dC，②①＋②得2Sn＝(n＋1)d(C＋C＋C＋…＋C)＝2n(n＋1)d.∴Sn＝(n＋1)2n－1d.题型三错位相减

7、法求和例3求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠1)．解析　∵Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，　①∴xSn＝x＋2x2＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，　②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn　(注：当x＝0时仍成立)＝，∴Sn＝.变式迁移3求和Sn＝＋＋＋…＋.解析　∵Sn＝＋＋＋…＋，①∴Sn＝＋＋＋…＋，②①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝＋1－－＝－，∴Sn＝3－.题型四分组求和法例4数列{an}的前n项和Sn＝2an－1