高二数学 排列、组合和概率 10.2 排列同步教案 新人教a版

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1、高二数学同步辅导教材（第33讲）一、本讲进度第十章排列、组合和概率10.2排列二、主要内容1、排列的概念、表示法、计算公式；2、与排列数有关的计算题、证明题等；3、排列应用题：没有附加条件，有附加条件的三、学习指导1、排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素取出m个元素的排列数，用符号Anm表示。根据排列的定义，它有两个要点：（1）从n个不同元素中任取m个；（2）按照一定顺序排成一列。所谓“按照一定的顺序排成一列”应该

2、理解成是将m个元素放在m个不同的位置上。所以排列定义中的每个要点，可以简略地称之为一是元素，二是位置。在确定排列的数目时，往往要借助于树图写出所有的排列。2、排列数的计算公式：Anm=n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]，等号右边是m个连续的正整数的积，第一项为n，成递减趋势。排列数的化简公式：Anm=规定：0！=1，Anm=n!=n(n-1)(n-2)·…·2·1排列数公式的推导过程是分步计数原理的直接应用根据排列数的定义，可得到与排列数有关的变形公式：=…k·k!=(k+1)!-k!3、排列应用主要是解决与实际问题有关的应用题。这类问题从条件出发，

3、分两类：一类是没有附加条件的排列问题；二类是有附加条件的排列问题。有附加条件的排列问题主要有两种：一是“在与不在”的问题，就是某一个或某几个元素在或不在某些特殊位置，一是“邻与不邻”问题，是指某些元素相邻或不相邻的问题，这类总是常用“捆绑法”或“插空法”。解有附加条件排列问题的基本思路：从元素出发或从位置出发称为“元素分析法”、“位置分析法”。解有附加条件的排列问题的基本方法：一是直接法，先从特殊元素或特殊位置出发，再考虑非特殊元素及非特殊位置，用分步计数原理；二是间接法，先不考虑条件限制，求出排列总数，再求出不满足条件的排列数，前者与后者的差即为问题结论，

4、也可称这种方法的原理为减法原理。四、典型例题例1、由a1，a2，…，a7七个元素组成的全排列中（1）a1在首位的有多少种？（2）前两个位置上是a1、a2（顺序固定）的有多少种？（3）前两个位置上是a1、a2（顺序不固定）的有多少种？解题思路分析：（1）先满足特殊元素（a1）与特殊位置（首位），把a1放在首位，有A11种方法；再让其余6个元素在其余6个位置上作全排列，有A66种方法。这两个步骤完成以后，就得到所要求的排列。根据分步计数原理，有：A11A66=A66种方法（2）先把a1、a2分别放在第一、二个位置上，满足a1、a2在前两个位置上（顺序固定），有A

5、11A11种方法；再让其余5个元素排在其余5个位置上作全排列，有A55种方法∴共有A11A11A55=A55种方法（3）先把a1、a2放在前两个位置上，由于顺序不固定，所以有A22种方法，再让其余5个元素在其余5个位置上作全排列，有A55种方法。∴共有A22A55种方法评注：计算Anm时，如果要求某一特殊元素必须放在某一特殊位置，那么先把这个元素放在这个特殊位置，这时元素少了1个，位置也少了1个，则问题转化为求的问题，这种情况可以推广到某r个元素必须分别在r个特殊位置上，其结果是。如果特殊的r个元素在特殊的r个位置上，又可以变换位置，在这种情况下，完成这一步

6、骤的方法有Arr种，在这一步完成后，完成第二步有种方法，因此解这类问题的公式是。例2、由a1，a2，…，a7七个元素每次取出5个的排列中（1）a1不在首位的有多少种？（2）a1既不在首位，又不在末位的有多少种？（3）a1与a7既不在首位又不在末位的有多少种？（4）a1不在首位，同时a7不在末位的有多少种？解题思路分析：（1）首先满足特殊元素a1，a1不在首位的排列可以分为两类：①不含a1：此时只需从a1以外的其它6个元素中取出5个放在5个位置上，有A65种；②含有a1，a1不在首位的：先从4个位置中选出1个放在a1，再从a1以外的6个元素中选4个排在没有a1

7、的位置上，共有A41A64种∴由分类计数原理，共有A65+A41A64种法二：把位置作为研究对象，第一步满足特殊位置（首位），从a1以外的6个元素中选1个排在首位，有A61种方法；第二步，从占据首位以外的6个元素中选4个排在除首位以外的其它4个位置上，有A64种方法，由分步计数原理，共有：A61A64种方法法三：间接法，用减法原理：从总的可能情况中减去不符合要求的情况。不考虑a1在首位的要求，总的可能情况有A75种；a1在首位的，有A64种，所以，符合要求的A75-A64种。（2）把位置作为研究对象，先满足特殊位置，从a1以外的6个元素中选两个排在首末两个位

8、置上，有A62种方法；再从未排上的5个元素中选3个排