高中数学 分类讨论思想复习系列学教案

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1、高中数学复习专题讲座分类讨论思想【思想介绍】分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。它是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。分类讨论的思想方法，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。对问题实行分类与整合，确定分类标准后等于增加了一个已知条件，实现了有效增设，将大问题

2、（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度。应用分类讨论的思想对问题求解，首先要明确讨论对象，确定对象的全体；其次是确定分类标准，分层次，不重复，不遗漏，达到互斥、无漏、最简的原则；最后还要反思其过程，从中发现“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论；使解题思想得到进一步升华，使解题的途径更加合理简捷。【考题展示】1.（2010年山东卷理)2.（2009年广东卷理10)若平面向量满足，平行于轴，，

3、则．【答案】或AyxOBGFF1图43.（2008年广东卷理18)设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．【答案】和；存在四个点4.（2009年广东卷理20)已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（1）若曲线

4、上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．【答案】，当时，；当时，；若，当时，；时，无零点；若，当时，无零点；时，；【命题预测】纵观近几年的高考试题可以看出，分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性的试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，

5、有利于对学生能力的考查；含参数的问题和分类思想与现实生活、高等数学有着密切的联系，试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。因此，分类讨论思想也仍然是高考命题的热点思想，在客观题中会有简单的体现，解答题中将有中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论。【解题策略】在高考中，应用分类讨论思想解题时要明确引起讨论的原因，归纳起来一般有：（1）概念型：涉及的数学概念是分类讨论的，如绝对值、直线的斜率等；（2）性质型：运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的

6、；如等比数列的前n项和的公式、数列的前n项和与通项的关系式；（3）运算型：涉及的数学运算要求分类讨论，如除法中的除数、不等号的方向等；（4）几何型：涉及的图形具有不确定性，如形状、位置等；（5）含参型：求解的数学问题中含有参变量，如含参函数、方程、不等式等；（6）化归型：有的数学问题较复杂或非常规，分类解决简捷，如排列、组合实际问题等；运用分类讨论思想解题的基本步骤：（1）明确讨论的对象和讨论的范围（全域）；（2）确定统一的分类标准，进行合理的分类；（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）；（4）总结概括

7、，得出结论；由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，希望同学们在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。简化分类讨论的常用策略：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。这是分类讨论思想应用的更高境界。【类题示例】一.集合与常用逻辑用语1.设，求实数的取值范围.【答案】二．函数与导数、方程、不等式1.（2010年江苏卷理11)已知函数,则满足不等式的

8、x的范围是__▲___。【答案】2.（2010年山东卷理22)已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.【答案】当时，函数在单调递减，单调递增；当时，恒成立，此时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，单调递增，单调递减.3.（2008年全国一19）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．【答案】时，为上的增函数时，在递增，递减，递增三、三角