高中数学 数形结合思想复习系列学教案

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1、高中数学复习专题讲座数形结合思想【思想介绍】数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学，简单的说就是“数”与“形”。“数”与“形”之间是有紧密联系的，既可以由“数”来研究“形”，也可以由“形”来研究“数”，这种“数”与“形”相互转化的数学思想即为数形结合思想。它是数学中重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位。数形结合的思想方法的应用可以分为两种情况：一是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合。在解题时充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意

2、义，将数量关系和直观形式巧妙结合，寻找合理的、简捷的途径解决问题。正如著名数学家华罗庚所说“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”【考题展示】1.（2010年全国新课标卷理11)已知函数若互不相等，且则的取值范围是【答案】C(A)(B)(C)(D)2.（2010年山东卷理16)已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为.【答案】3.（2010年陕西卷理20)如图，椭圆的顶点为焦点为，，（1）求椭圆C的方程；（2）设n是过原

3、点的直线,是与n垂直相交于P点,与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【答案】,不存在4.（2010年广东卷理21)设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为对于平面上给定的不同的两点，,（1）若点是平面上的点，试证明（2）在平面上是否存在点，同时满足①②若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。【答案】所有符合条件的点的轨迹是一条线段，即：过的中点，斜率为的直线夹在矩形之间的部分或斜率为1的直线夹在矩形之间的部分。如图示：【命题预测】纵观近几年的高考试题可以看出，数形结合的思想在高考中占有非常

4、重要的地位，应用它求解能简化过程、提高效率的试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：数形结合联系的知识点多，有利于考查学生掌握的知识面；有利于考查学生对知识的理解能力；有利于考查学生对问题的本质的把握的能力；有利于考查学生的分析与联想的能力；有利于考查学生的解题的灵活性；在试卷中占有一定比例还有利于拉开考生得分的距离，反映考生继续学习的能力，实现区分与选拔的功能。因此，数形结合的思想的应用也仍然是高考命题的热点思想，会覆盖到题的四到五成左右，不仅在客观题中有体现，解答题亦是会有上佳的反映。【解题策略】在高考中，根据题型的特点，选择题与填空题不要

5、求写出解题过程，用形来解决数的问题可以简化运算，一般是根据数的结构特征，构造相应的图形，利用其特性和规律直接得解；解答题要求写出过程，用数来解决形的问题或数形相互渗透使问题简捷，一般是将图形信息与代数信息之间部分或全部转换，使复杂的问题简单化，达到抽象思维和形象思维的和谐统一，完美的解决问题。数与形转换的途径有以下两条：⑴以数助形：根据图形的特征引入合适的量的表示，再计算求解；常见的内容有：①解析几何中坐标系的建立，②平面（立体）几何中的向量的引入，③以几何条件（背景）与几何定理的结合建立对应模型。⑵以形助数：根据数与式的结构和特点，转化为其对应的图形（像），直观得解；常见的对

6、应内容有：①实数（有序数对）与点，②集合的运算与韦恩图，③函数与其图象，④方程（不等式）与曲线，⑤形如转化为距离或勾股定理，⑥形如转化为斜率等。【类题示例】一.集合与常用逻辑用语1.（2010辽宁卷理1）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=（A）{1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}【提示】利用Venn图求解【答案】D2.（2010天津卷理9）设集合A=若AB,则实数a,b必满足（A）（B）（C）（D）【提示】利用数轴求解【答案】D二．函数与导数、方程、不等式1．（2010湖南卷理8）用表示a，

7、b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=对称，则t的值为A．-2B．2C．-1D．1【提示】利用图象求解【答案】D2．（2010年全国新课标卷理8)设偶函数满足，则(A)(B)(C)(D)【提示】利用图象求解【答案】B3．（2010～2011学年度第一学期北京市西城区期末试卷文8）设函数，的零点分别为，则（A）（B）（C）（D）【提示】利用图象求解【答案】A4．（2010天津卷文10）设函数，则的值域是（A）（B）（C）（D）【提示】利用图象求解【答案】D5．（2010全国卷1理15）直线