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《高中数学【数形结合思想】》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
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2、精品资料共享www.oksha.com你的分享,大家共享难点37数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决.运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●难点磁场1.曲线y=1+(–2≤x≤2)与直线y=r
3、(x–2)+4有两个交点时,实数r的取值范围.2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈[–1,+∞)时,f(x)>a恒成立,求a的取值范围.●案例探究[例1]设A={x|–2≤x≤a},B={y|y=2x+3,且x∈A},C={z|z=x2,且x∈A},若CB,求实数a的取值范围.命题意图:本题借助数形结合,考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托:解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将CB用不等式这一数学语言加以转化.错解分析:考生在确定z=x2,x∈[–2,a]的值域是易出错,不能分类而论.巧妙观
4、察图象将是上策.不能漏掉a<–2这一种特殊情形.技巧与方法:解决集合问题首先看清元素究竟是什么,然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言,进而分析条件与结论特点,再将其转化为图形语言,利用数形结合的思想来解决.解:∵y=2x+3在[–2,a]上是增函数∴–1≤y≤2a+3,即B={y|–1≤y≤2a+3}作出z=x2的图象,该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下:①当–2≤a≤0时,a2≤z≤4即C={z|z2≤z≤4}要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a<0矛盾.②当0≤a≤2时,0≤z≤4即C={z|0≤z≤4},要使C
5、B,由图可知:必须且只需解得≤a≤2③当a>2时,0≤z≤a2,即C={z|0≤z≤a2},要使CB必须且只需6考网
6、精品资料共享www.oksha.com你的分享,大家共享解得2<a≤3④当a<–2时,A=此时B=C=,则CB成立.综上所述,a的取值范围是(–∞,–2)∪[,3].[例2]已知acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ,k∈Z)求证:.命题意图:本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托:解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在
7、单位圆上.错解分析:考生不易联想到条件式的几何意义,是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法:善于发现条件的几何意义,还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义,这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中,点A(cosα,sinα)与点B(cosβ,sinβ)是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而:|AB|2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知|OA|2–(|AB|)2=d2即∴.●锦囊妙计应用数形
8、结合的思想,应注意以下数与形的转化:(1)集合的运算及韦恩图(2)函数及其图象(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭难点训练一、选择题6考网
9、精品资料共享www.oksha.com你的分享,大家共享1.(★★★★)方程sin(x–)=x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.以上均不对2.(★★★★★)已知f(x)=(x
10、–a)(x–b)–2(其中a<b,且α、β是方程f(x)=0的两根(α<β,则实数a、b、α、β的大小关系为()A.α<a<b<βB.α<a<β<bC.a<α<b<βD.a<α<β<b二、填空题3.(★★★★★)(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2,(θ、t为参数)的最大值是.4.(★★★★★)已知集合A={x|5–x≥},B={x|x2–ax≤x–a},当AB时,则a的取值范围是.三、解答题5.(★★★★)设关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0,π)内有相异解α、β.(1)求a的取值范围;(2)求tan(α+β)的值.
11、6.(★★★★)设A={(x,y)|y=,a>0},B={(x,y)|(x–1)2+(y–3)2=a2,a>0},且A∩B≠,求a的最大