高中数学 2.2.2 直线与圆的位置关系教案 新人教版必修2

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1、2.2.2直线与圆的位置关系教学目标：1．依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系3．理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系4．会初步处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题，渗透方程思想，巩固基本量的求法教学重点：依据直线和圆的方程，求它们的交点坐标，理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系教学难点：直线与圆相交时所得的弦长有关的问题教学过程：1．问题情境(1)情境：圆心到直线的距离决

2、定直线与圆的位置关系，那么已知圆和直线，，．(2)问题：判断该圆与三条直线的位置关系．2．直线与圆的方程分别为：．如果直线与圆有公共点，由于公共点同时在和上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是与的公共点．由与的方程联立方程组我们有如下结论：位置关系：相离相切相交方程组无解方程组仅有一组解方程组有两组不同的解3．例题讲解例1．求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系．解：直线和圆的公共点坐标就是方程组的解．解这个方程组，得，所以公共点坐标为．所以，直线和圆有两个公共点，即直线和圆相交

3、．例2．自点作圆的切线,求切线的方程．解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件，当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为即，如图，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，故解得或．因此，所求直线的方程是或解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件．当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为由于直线与圆相切，所以方程组仅有一组解．由方程组消去，得关于的一元二次方程，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式，解得或，因此，所求直线的方程是或．结论：相离；相切；相离．变式：(1)当点的坐标为时，切线的方程．(2)当点的坐标为，切线的

4、方程．解：(1)由题意得：在圆上所以直线的方程为，因为与切线垂直，所以切线的方程为说明：求圆的切线方程首先应判断点是否在圆上．(2)由题意：当直线垂直于轴时，直线与圆相切，满足条件．当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即，，，经检验．练习：已知圆，直线，(1)为何值时与圆相切，并求出切点坐标；(2)为何值时与圆相交，并求出弦长．解答见《苏大教学与测试例1》例3．求直线被圆截得的弦长．解法1：，解得，，即公共点坐标为，则弦长为．解法2：如图，设直线与圆交于两点，弦的中点为，则(为坐标原点)，所以所以．例4．已知圆：，直线：，(1)证明：不论取什么实

5、数，直线与圆恒交于两点；(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程．分析：若直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径；若直线过圆内一点，则直线和圆相交，涉及相交弦问题，要注意运用弦长，半径及弦心距三者之间的关系．解：(1)由题意直线方程可变形为，，∴直线必过定点，又，∴点在圆内，故必与圆相交．(2)要使弦长最小时，必须∵圆心和定点所在的直线的斜率，∴的斜率，所以，直线的方程为．例5．已知圆，是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．解答见《苏大教学与测试例2》4．课堂小结(1)直线和圆的三种位置关系与

6、圆心到直线的距离和半径之间的大小关系的对应关系(2)直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系(3)相交弦问题，要注意运用弦长，半径及弦心距三者之间的关系