高中数学 1.2 1极限与导数教案 新人教a版选修2-2

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1、2013年高中数学1.21极限与导数教案新人教A版选修2-2【实验目的】1.了解函数极限、导数的基本概念。2.学习、掌握MATLAB软件有关求曲线、导数的命令。【实验内容】1.判断极限的存在性。2.验证极限。3.验证极限。4.求函数的单调区间及极值。【实验准备】1.极限导数的基本概念2.求极限、导数的MATLAB命令MATLAB主要用limit,diff分别求函数的极限与导数。建立符号变量命令sym和syms调用格式:x=sym('x')，建立符号变量x；symsxyz，建立多个符号变量x，y，z；matlab求导命令diff调用格式:diff(函数)，

2、求的一阶导数；diff(函数，n)，求的n阶导数(n是具体整数)；diff(函数，变量名)，求对的偏导数；diff(函数，变量名，n)，求对的n阶偏导数；matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式:jacobian([函数；函数；函数]，[])给出矩阵:【实验重点】1.极限的计算2.导数的计算【实验难点】1.导数的曲线表示【实验方法与步骤】一、观察与练习练习1首先分别作出函数在区间等区间上的图形，观察图形在附近的形状。在区间绘图的MATLAB代码为>>x=(-1):0.0001:(-0.01);y=cos(1./x);plot(x,y)运行结

3、果如图2.1。图2.1根据图形能否判断极限的存在性？当然，也可以用limit命令直接求极限，相应的MATLAB命令为>>clear;>>symsx;%说明x为符号变量>>limit(sin(1/x),x,0)结果为ans=1..1,即极限值在-1，1之间，而如果极限存在则必唯一，故极限不存在。同样极限也不存在。练习2首先分别作出函数在区间等区间上的图形，观察图形在点x=0附近的形状。在区间绘图的MATLAB代码为>>x=(-1):0.0001:(-0.01);y=sin(x)./x;plot(x,y)运行结果如图2.2。图2.2根据图形，能否判断极限的正

4、确性？当然，也可以用limit命令直接求极限，相应的MATLAB命令为>>clear;>>symsx;>>limit(sin(x)/x),x,0)结果为ans=1。二、极限计算例2.1.观察数列当时的变化趋势.解:输入命令:n=1:100；xn=n./(n+1)得到该数列的前100项，从这前100项看出，随的增大，与1非常接近，画出的图形.stem(n，xn)或fori=1:100;plot(n(i),xn(i),’r’)holdonend其中for…end语句是循环语句,循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第i个分量.由图可看出，随的增大，点

5、列与直线无限接近，因此可得结论:.对函数的极限概念，也可用上述方法理解.例2.2.分析函数，当时的变化趋势.解:画出函数在上的图形.x=-1:0.01:1；y=x.*sin(1./x)；plot(x，y)从图上看，随着的减小，振幅越来越小趋近于0，频率越来越高作无限次振荡.作出的图象.holdon；plot(x，x，x，-x)例2.3.分析函数当时的变化趋势.解:输入命令:x=-1:0.01:1；y=sin(1./x)；plot(x，y)从图上看，当时，在-1和1之间无限次振荡，极限不存在.仔细观察该图象，发现图象的某些峰值不是１和-１，而我们知道正弦曲

6、线的峰值是１和-１，这是由于自变量的数据点选取未必使取到１和-１的缘故，读者可试增加数据点，比较它们的结果．例2.4.考察函数当时的变化趋势.解:输入命令:x=linspace(-2*pi，2*pi，100)；y=sin(x)./x；plot(x，y)从图上看，在附近连续变化，其值与1无限接近，可见.例2.5.考察当时的变化趋势.解:输入命令:x=1:20:1000；y=(1+1./x).^x；plot(x，y)从图上看，当时，函数值与某常数无限接近，我们知道，这个常数就是.5．求函数极限例2.6.求.解:输入命令:symsx；f=1/(x+1)-3/(

7、x^3+1)；limit(f，x，-1)得结果ans=-1.画出函数图形.ezplot(f)；holdon；plot(-1，-1，’r.’)例2.7.求解:输入命令:limit((tan(x)-sin(x))/x^3)得结果:ans=1/2例2.8.求解:输入命令:limit(((x+1)/(x-1))^x，inf)得结果:ans=exp(2)例2.9.求解:输入命令:limit(x^x，x，0，’right’)得结果:ans=1例2.10.求解:输入命令:limit((cot(x))^(1/log(x))，x，0，’right’)得结果:ans=exp

8、(-1)三、导数计算导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.（１）