高中数学 1.1 3导数与微分教案 新人教a版选修2-2

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1、2013年高中数学1.13导数与微分教案新人教A版选修2-2微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。微分，它是函数增量的线性主部，它是函数增量的近似表示。微分与导数密切相关，这两个函数之间存在着等价关系。导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。它们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。要求：学生能正确地理解导数和微分的概念及几何意义与物理意义，能够熟练地导数公式与求导（微分）法则求出函数的导数和微分，

2、；理解高阶导数的概念，能够正确地求出一些函数的高阶导数。重点：导数、微分的概念，求导法则。难点：复合函数和由参数方程确定的函数的求导法则的运用。§2.1导数的概念2教学时§2.2导数的基本公式2教学时§2.3初等函数的导数高阶导数2教学时§2.4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数2教学时§2.5函数的微分2教学时第二章习题课2教学时第一节导数的概念要求：学生能正确地理解导数的定义及几何意义与物理意义，理解用导数的定义求某些基本初等函数的导数和方法。熟记这些函数和导数公式，掌握可导与连续的关系。重点：导数和定义。几个基本初等函数的导数公式。难点：导数的定义，用导数定义求函数的导数

3、。2教学时一、引例1、直线运动的速度已知自由落体和运动方程为试讨论落体在时刻（0

4、如图）在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋于点M时。如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长

5、MN

6、趋于零，也趋于零。TyoMy=f(x)x0φNαx0+△xQx设曲线C为函数的图形，设M（是曲线上一个点，则。根据上述切线的定义，要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此在C上于点M外另取一点，于是割线MN和斜率为其中为割线MN的倾角，当点N沿曲线C趋于点M时，，如果当时，上式的极限存在，设为即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率，这里为切线MT的倾角，于是，通过点且以为斜

7、率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，=，可见，时（这时

8、MN

9、），。因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。一、导数的定义从上面讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下极限：（*）这里，因相当于，故上式可写成在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，如电流强度、角速度、线密度等等，都有可以归结为（*）的数学形式。我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得到函数的导数的概念。定义：函数在点和某个邻域内有定义。当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果时的极限存在，则称函数在点处可导。并称这个极限为函数在点处的导数，

10、记为也记作.函数在处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。如果极限（*）不存在，就说函数在点处不可导。如果不可导的原因是由于时，比式，为了方便起见，也往往说函数在点处的导数为无穷大。导数的定义式（*）的不同形式，常见的有。注1：在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等到方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比是因变量为端点的区间上的平均变化率，而导数则是因变量在点处和变化率，它反映了因变量随自变量的变化而的快慢程

11、度。根据函数在点处的导数的定义,导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等，因此，在点下可导的充分必要条件是左、右极限及都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数、右导数，记作及，即现在可以说，函数在点处可导充分必要条件是和都存在且相等。左导数、右导数统称为单侧导数。导函数的定义：如果函数在开区间内的每一点处都可导，就称函数在开区间内可导。这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数