高三数学第一轮复习讲义（57）空间直线

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1、高三数学第一轮复习讲义（57）空间直线一．复习目标：1．了解空间两条直线的位置关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．二．课前预习：1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面其中真命题个数为（D）32102．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（A）3004506003．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__________

2、______．（答案：）4．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为____________________．答案：三．例题分析：例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平

3、面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。小结：例2．在三棱台中，侧棱⊥底面，且，．（1）求证：，，．（2）求异面直线和的距离．（1）略证，先证BC⊥平面AA1B1B，即得BC⊥A1B，BC⊥A1A，又∵A1A⊥A1C（已知），由三垂线定理的逆定理可知，A1A⊥A1B（2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC，∴A1B就是A1A和BC的公垂线段。但△AA1B∽△BB1A1，∴，又AB=2cm，A1B1=1cm，∴A1B=cm。小结：例3．一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（

4、1）的长；（2）与所成的角解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450，Rt△ACB中，BC=AB·cos300=，在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、

5、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=。小结：四．课后作业：班级学号姓名1．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（C）25厘米39厘米25或39厘米15厘米2．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b间的距离为定值，则这样的直线b有（D）1条2条4条无数条3．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角

6、都是300的直线有且仅有（B）1条2条3条4条4．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小．答案：．A1ABB1DD1CC1O5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．证明：如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连结B1D1，A1C1，BD，AC．设B1D1A1C1＝M，BDAC＝N．∴M，N分别是B1D1，AC的中点．连结BM，D1N．A1ABB1DD1CC1图1MONO1∵BB1∥DD1，且BB1＝DD1，∴四边形BDD1B1是平行四边形．在平面BDD1B1中，设B1DBM＝O，B1DD

7、1N＝O1，在平行四边形BDD1B1中，∵D1M∥NB，且D1M＝NB，∴四边形BND1M是平行四边形．∴BM∥ND1，即OM∥O1D1，∴O是BO1的中点，即O1O＝OB1．同理，OO1＝O1D．∴O1O＝OB1＝O1D．综上，OB1∶OD1＝1∶2．6．如图，已知平面α、β交于直线，AB、CD分别在平面α，β内，且与分别交于B，D两点．若∠ABD＝∠CDB，试问AB，CD能否平行？并说明理由．BCDAαβl证明：直线AB，CD不能平行．否则，若AB∥CD，则AB∥CD共面，记这个平面为γ．∴AB，CDγ．∴ABα，D∈γ．由题知，ABα，D∈α

8、，且DÏAB，根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，α与γ重合．同理，β与γ重合．∴α与β重合，这与题设矛盾．