高一数学 4.7二倍角的正弦余弦正切（第一课时） 大纲人教版必修

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1、●课题§4.7.1二倍角的正弦、余弦、正切(一)●教学目标(一)知识目标1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：(1)sin2α＝2sinαcosα(α为任意角)(2)cos2α＝cos2α－sin2α(α为任意角)＝2cos2α－1＝1－2sin2α(3)tan2α＝(α≠＋kπ，且α≠＋，k∈Z)(二)能力目标1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.(三)德育目标1.引导学生发现数学规律；2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；3.培养学生的创新意识.●教学重点1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应

2、用.●教学难点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.●教学方法让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力.(启发诱导式)●教具准备幻灯片两张第一张(§4.7.1A)：二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(α为任意角)cos2α＝cos2α－sin2α(α为任意角)tan2α＝(k∈Z)α≠＋kπ且α≠＋)利用sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可变形为：cos2α＝2cos2α－1或cos2α＝1－2sin2α第二张(§4.7.1B)：练习题：1.已知cosα＝

3、m，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.2.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ●教学过程Ⅰ.课题导入［师］前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.［生］先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos(α＋β)＝cosα

4、cosβ－sinαsinβ当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)tan(α＋β)＝当α＝β时，tan2α＝(打出幻灯片§4.7.1A，让学生对照).Ⅱ.讲授新课［师］同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠＋kπ及α≠＋(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为

5、当α＝＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝＋，k∈Z时tan2α的值不存在).当α＝＋kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2(＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα例如：sin＝≠2sin＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如

6、将4α作为2α的2倍，将α作为的2倍，将作为的2倍，将3α作为的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sinα＝，α∈(，π)∴cosα＝－＝－＝－∴sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，tan2α＝.(打出幻灯片§4.7.1B，师生共同完成).［师］1.题中cosα＝m，由此虽不能确定sinα的值，但由于已知α所在象限，所以也可确定其符号，从而求解.［生］解：∵cosα＝m，α在第二象限.∴sinα＝∴sin2α＝2sinαc

7、osα＝2·m＝2mcos2α＝2cos2α－1＝2m2－1tan2α＝或由tanα＝tan2α＝［师］2.分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.［生］解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ＝cos2θ＝1＋［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－cos2θ＝1＋［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－cos2θ＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ＝1＋cos2θ－

8、cos2θ