高一数学 4.7二倍角的正弦余弦正切（第三课时） 大纲人教版必修

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1、●课题§4.7.3二倍角的正弦、余弦、正切(三)●教学目标(一)知识目标1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：(1)sin2α＝2sinαcosα(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(3)tan2α＝(二)能力目标(1)灵活应用和、差、倍角公式；(2)掌握和差化积与积化和差的方法(不要求记忆).(三)德育目标(1)培养学生联系变化的观点；(2)提高学生的思维能力.●教学重点和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.●教学难点二倍角公式的变形式的灵活应用.●教学方法引导学生推得二倍角

2、公式的变形式，从而使学生加深对二倍角公式的理解与应用.(启发诱导式)●教具准备幻灯片三张第一张(§4.7.3A)：sin2＝(α为任意角)cos2＝(α为任意角)tan2＝(α≠kπ＋，k∈Z)第二张(§4.7.3B)：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］；cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］；cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］；sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］.(α、β为任意角)第三张(§4.7.3C)：sinθ＋s

3、in＝2sin·cos；sinθ－sin＝2cos·sin；cosθ＋cos＝2cos·cos；cosθ－cos＝－2sin·sin.(θ、为任意角)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面积S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝S不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是

4、a，矩形的面积最大，于是问题得到解决.Ⅱ.讲授新课［师］再看下面的例题［例1］求证sin2＝分析：此等式中的α可作为的2倍.证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得cosα＝1－2sin2∴sin2＝［师］请同学们试证以下两式:(1)cos2＝(2)tan2＝［生］证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，即得cosα＝2cos2－1∴cos2＝(2)由tan2＝＝cos2＝得tan2(打出幻灯片§4.7.3A，让学生观察)［师］这是我们刚才所推证的

5、三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.另外，在这三式中，如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan.下面，再来看一例子.［例2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］分析：只要将S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推证.证明：由sin(α＋

6、β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ②①＋②得：sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］［师］请同学们试证下面三式：(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］［生］思考片刻，自证.证明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos

7、αsinβ①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ②①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ②①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ①cos(α－β)＝cosαco

8、sβ＋sinαsinβ②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］(打出幻灯片§4.7.3B，让学生对照)［师］不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.［师］和差形式