高三数学 排列、组合和和概率 二项式定理教案同步教案 新人教a版

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1、第十章排列、组合和和概率二、二项式定理学习指导：1．有关二项式定理，要记住公式，弄清与其相关的概念：二项式系数、系数、项、项数、通项等，从而正确运用二项式系数的性质进行计算，解一些应用题。重点是二项式定理的应用、难点是对通项的理解。2．二项式定理：。右边的多项式叫做的二项展开式，共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示。3．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。（2）增减性与最大值当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值

2、；当是奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。（3）的展开式的各个二项式系数的和等于，即（4）的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即。例题选讲例1．求展开式中的常数项。解：展开式的通项为。令得展开式的常数项为。注：若把上题改为“求展开式中的有理项”，由知为6的倍数，又；展开式中的有理项为，，。例2．在的展开式中，所有奇数项之和等于1024，试求它的中间项。解：展开式中所有奇数项系数之和等于所有偶数项系数之和，即，，展开式共有12项，其中第6、7项为中间项。例3．已知的展开式中项的系数与的展开式中项的系

3、数相等，求的值。解：的展开式中的通项为，，即项的系数为。的展开式中的通项为，，即项的系数为。由，即，解之得中，舍去。。例4．在的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。解：因为前三项系数分别为1、、，它们成等差数列，所以。即解之得或。当时，的展开式中不含有理项，所以不合，应舍去。当时，的展开式的通项为，应是4的倍数，必须是4的倍数，又，。展开式中各有理项为，，。注：求二项展开式中有关的系数、常数项、有理项等特殊项的问题，可紧紧抓住二项展开项的通项，通过对通项的分析，去找到原问题的解。例5．求中的系数。解法一，原式原题即转化为求的

4、展开式中的的系数，，的系数为286。解法二：项只存在于后四个项中，且都是四个展开式的第10项。系数之和为解法三：原式中的系数与式中的的系数相同，后者所以展开式中的的系数为例6．求展开式中的系数。解：因为的展开式通项为，其中时，系数为。的展开式通项为，其中时系数为。的展开式通项为，其中时系数为。所以展开式中的系数为。例7．求展开式中的系数。解：原式第三项起没有的项。所以的系数为。注：求的展开式中的系数。原式只有第3项有，其系数为或者由原式从四个因式中任取2个a，其余再从余下的两个式子中任取1个b，最后一个因式中取1个c。得的系数为。一般地，展

5、开式中的系数可表示为例8．求的展开式中的系数。解法一、原式，其通项为，又的通项令，可得或当时，的系数为；当时，的系数为；所以符合条件的的系数为。解法二、原式，其通项为当时，的系数为；当时，的系数为所以展开式中的系数为。解法三、原式出现有两种情况，一种是三个因式均提供，另一种是一个提供，另两个中有一个提供，一个提供，因而的系数为。例9．求展开式中的最大项。解：展开式中二项式系数最大的项是中间的项，但虽然的第26项的二项式系数最大，但因其，但却随的增大而增大，因此第26项不一定最大，但当时，的值显然大于1，所以只要讨论时，小于1。，即展开式中的

6、最大项为。例10．数的未尾连续的零的个数是个。解法一、因为令同为M的未位数是0，N的未位数是6。所以的未尾连续零的个数是3个。解法二、因为，，，，当时，末尾有四个以上的0，所以，m为正整数。所以的未尾有3个连续的零。例11．在的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项解：（1）二项式系数最大的项是（2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，则即得，所以当时，系数绝对值最大的项为（3）因系数为正的项为奇数项，故可设第项系数最大，则得即系数最大。例12．设，求：（1）；（2）解：（1）令得令得（2）令得①

7、令得②由①＋②得例13．求除以100的余数解法一：观察各项，只有最后两项不能被100又故知除以100的余数为81。解法二：显然仅最后一项不能被100整除，以下转化为求被100除的余数。此式中仅最后两项不能被100整除，而，所求余数为81。例14．证明：，证明：当时，当时，又注：证明还可以有如下的证法：例15、当，求证：证明：因为其中所以巩固与练习一、选择题1．二项式展开式中的前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项是（）A．B．C．D．2．被4除所得的系数为（　）A．0B．1C．2D．33．，，展开式按a的降幂排列后第二项不大于第三项，则a

8、的取值范围是（）A．B．C．D．4．展开式中各项系数之和为（）A．B．C．D．二、填空题5．设，则；；。6．在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，则。7．被22