高一数学 5.3实数与向量的积（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料1.错例分析［例1］判断向量a＝－2e与b＝2e是否共线?对此题，有同学解答如下：解：∵a＝－2e，b＝2e，∴b＝－a，∴a与b共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中，对向量e并无任何限制，那么就应允许e＝0，而当e＝0时，显然a＝0，b＝0，此时，a不符合定理中的条件，且使b＝a成立的值也不唯一(如＝－1，＝1，＝2等均可使b＝a成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e＝0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(

2、1)当e＝0时，则a＝－2e＝0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时a与b共线.(2)当e≠0时，则a＝－2e≠0，b＝2e≠0∴b＝－a(这时满足定理中的a≠0，及有且只有一个实数(＝－1)，使得b＝a成立)∴a与b共线.综合(1)、(2)可知，a与b共线.2.用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简单.［例2］如图，MN是△ABC的中位线，求证：MN＝BC，且MN∥BC.证明：∵M、N分别是A

3、B、AC边上的中点，所以＝，＝，＝－＝－＝(－)＝.因此，NM＝BC且MN∥BC.3.0与任一向量共线［例3］下列说法正确的是()(1)a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(2)a与b共线，b与c不共线，则a与c不共线；(3)a与b不共线，b与c不共线，则a与c不共线.分析：以上说法皆是错误的.(1)若b=0，a与c是非零向量，则结论不正确.(2)若a=0，则a与c共线.(3)如a=2c，任一非零向量b若与a不共线，则与c不共线，但a与c共线.4.共线向量的充要条件的推广定理推广：向量b与非零向量a共线的充要条件是有

4、且只有一个实数，使得b=a.定理中的向量b可为0.［例4］下列说法正确的是()(1)向量a与b共线的充要条件是有且只有一个实数，使得a=b;(2)向量a与b共线的充要条件是有且只有一个实数，使b=a;(3)向量a与b共线的充要条件是有且只有一个实数，使b=a或a=b;(4)向量a与b不共线的充要条件是有且只有一个实数，使b=a且a=b.分析：只有(3)正确.(1)中b=0时不正确；(2)中a=0时不正确；(4)中向量a与b不共线的充要条件是不存在一个实数，使得b=a或a=b.●备课资料1.向量法应用［例1］已知ABCD

5、，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.证明：因为E、F为DC、AB的中点，∴＝，＝，由向量加法法则可知：＝＋＝＋，＝＋＝＋.∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝－，＝－，∴＝－－＝－(＋)＝－∴∥，∴AE∥CF2.参考例题［例2］已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明AO=OC，BO=OD.分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明：∵A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，∴存在实数和μ，使得=，=μ.设=a，=b，则=a+b，=b－a∴=(a+b)

6、，=μ(b－a).又∵+=，∴a+μ(b－a)=(a+b)，即(1－μ－)a+(μ－)b=0，又∵a与b不共线，由平面向量基本定理，，∴μ==，∴AO=AC，BO=BD，即AO=OC，BO=OD.［例3］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG=(PA+PB+PC).证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM=3GM，由向量中线公式有：=(+)，=(+)，∴+=(+)①同理可得+=(+)②+=(+)③由式①+②+③得：2(++)=(+++++)=0∴++=0∴3=++=(+)+(+)+

7、(+)=(++)+(++)=++，∴PG=(PA+PB+PC).［例4］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.求证：ADGC.证明：如图，因为四边形BEGF是平行四边形.所以=又因为D是BC的中点，所以=，所以－=－，所以=(+)===所以ADGC.［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：｜AB－CD｜≤EF≤(AB+CD).证明：如图，∵，，∴2=(+)+(+)+(+)∵E、F分别是AC、BD的中点，∴+=0，+=0，∴=(+)又∵｜｜｜－｜｜｜≤｜+｜≤｜｜+

8、｜｜，∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤(｜｜+｜｜)，即｜AB－CD｜≤EF≤(AB+CD).3.高考真题［例1］(2003年全国高考)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+()，∈［0，+∞，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心分析：此题首先应理解即的单位向量，即的单位向量，设=a