数学：2.1.1.2《合情推理与演绎证明》第二课时教案（新人教a版选修1-2）

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1、§2.1.1.2合情推理(第二课时)一、教学目标：（一）知识与能力：了解类比推理的基本方法，并能用它进行简单的推理。（二）过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，得出的结论就越可靠。（三）情感态度与价值观：1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。三、教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

2、四、教学过程：（一）导入新课：除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比．例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手。我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的。这个推理过程有什么特点？（二）推进新课：1、我们再看几个类似的推理实例。例1、试

3、根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=bÞa+c=b+c;(1)a＞bÞa+c＞b+c;(2)a=bÞac=bc;(2)a＞bÞac＞bc;(3)a=bÞa2=b2;等等。(3)a＞bÞa2＞b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离

4、相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心2、类比推理的定义：由两个（两类）对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．3、类比推理的特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．4、类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象

5、之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想。观察、比较联想、类推猜想新结论在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现．5、例3（课本例2）类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质．分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可以从上述4个方面来类比这两种运算．解：(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数．(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结

6、合律，即a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程a+x=0ax=1(a≠0)都有唯一解x=-ax=(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即a+0=aa·1=a运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．例如，在立体几何中，为了研究四面体的性质，我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象，通过类比这个对象的性质，获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路．6、探究：你认为平面几何中的

7、哪一类图形可以作为四面体的类比对象？可以从不同角度出发确定类比对象，如围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量等．从构成几何体的元素数目看，可以把三角形作为四面体的类比对象．例4（课本例3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的个面是四面体，作为直角三角形的类比对象．直角三角形 3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和