九年级数学上册 20.3 二次函数解析式的确定教案 北京课改版

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1、20.3二次函数解析式的确定一．知识要点1.若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a≠0）求解析式。2.若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。3.若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标二.重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。三.教学建议：求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵

2、活选用。典型例题例1.已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。分析：设，其图象经过点C（0，－5），可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。解：设所求二次函数的解析式为因为图象过点C（0，－5），∴又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到：∴所求二次函数的解析式为说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使

3、解题过程简便。例2.已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。分析：由已知顶点为（1，），故可设，再由点（－2，0）确定a的值即可解：，则∵图象过点（－2，0），∴∴即：说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。例3.已知二次

4、函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式解：设这个二次函数的解析式为∵图象经过（－1，0），∴∴所求这个二次函数的解析式为即：说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。例4.已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。图1分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。方法一：由图

5、象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，－1）三点设解析式为根据题意得：∴所求二次函数的解析式为方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，－1）设解析式为∵图象过（0，0），∴，∴∴所求二次函数的解析式为即方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点（0，0），（2，0）设解析式为∵图象过（1，－1）∴，∴∴所求二次函数解析式为：即：说明：依题意后两种方法比较简便。例5.已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交

6、点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式解：∵顶点坐标为（2，4）∴对称轴是直线x＝2∵抛物线与x轴两交点之间距离为4∴两交点坐标为（0，0），（4，0）设所求函数的解析式为∵图象过（0，0）点∴，∴∴所求函数的解析式为例6.已知二次函数的最大值是零，求此函数的解析式。分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有，且顶点的纵坐标的值为零，则有：。以上两个条件都应满足，可求m的值。解：依题意：由①得由②得：（舍去）所求函数式为即：例7.已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的，且

7、该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。分析：设所求抛物线的函数关系式为，则由于它是抛物线经过平移而得到的，故a＝2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。解：设所求抛物线的函数关系式为，则由已知可得a＝2，又它经过点A（1，1），B（2，4）故：解得：∴所求抛物线的函数表达式为：说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关系，得到例8.如图2，已知点A（－4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为－2，并且满足条件图2（1）求证：△PAB是直角三角形。（2）求过P、A、

8、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。分析：（1）中须证，由已知条件：，应过P作PC⊥x轴（2）中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式解：（1）过P作PC⊥x轴于点C，由已知易知AC＝2，BC＝8∴，解得：PC＝4∴P点的坐标为（－2，－4）由勾股定理可求得：，又∴故△APB是直角三角形（2）解法1，可设