高二数学暑假专题 三角函数式的化简与求值 苏教版

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1、高二数学暑假专题三角函数式的化简与求值苏教版一.本周教学内容：暑假专题——三角函数式的化简与求值二.本周教学目标：三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。三.本周知识要点：1.两角和与差的正、余弦公式2.二倍角公式；；；注意：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。（2）二倍角公式为不仅限于是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。（3）二倍角公式是从两角和的

2、三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。（4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）。（5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：这两个形式今后常用。3.几个三角恒等式（1）积化和差公式sinacosb=[sin（a+b）+sin（a-b）]cosasinb=[sin（a+b）-sin（a-b）]cosacosb=[cos（a+b）+cos（a-b）]sinasinb=-[cos（a+b）-cos（a-b）]（2）和差化积公式∴4.万能公式（补充）重难点归纳：1.求值问题的基本类型①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的

3、最值或值域，⑤化简求值。2.技巧与方法：①要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式。②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用。③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法。④求最值问题，常用配方法、换元法来解决。【典型例题】例1.不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值。命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高。知识依托：熟知三角公式并能灵活应用。错解分析：公式不熟，计算易出错。技巧与方法：解法一利用三角公式

4、进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会。解法一：sin220°+cos280°+sin20°cos80°=（1－cos40°）+（1+cos160°）+sin20°cos80°=1－cos40°+cos160°+sin20°cos（60°+20°）=1－cos40°+（cos120°cos40°－sin120°sin40°）+sin20°（cos60°cos20°－sin60°sin20°）=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°=1－cos40°－（1－cos40°）=解法二：设x=sin220°+cos

5、280°+sin20°cos80°y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°=－2sin100°sin60°+sin100°=0∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=例2.设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足f（a）=的a值，并对此时的a值求y的最大值。命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力。知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题。

6、错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错。技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讨论等。解：由y=2（cosx－）2－及cosx∈［－1，1］得：f（a）＝∵f（a）=，∴1－4a=a=［2，+∞或－－2a－1=，解得a=－1，此时，y=2（cosx+）2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5例3.已知函数f（x）=2cosxsin（x+）－sin2x+sinxcosx（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最

7、值等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力。知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质等知识。技巧与方法：等价转化，逆向思维。解：（1）f（x）=2cosxsin（x+）－sin2x+sinxcosx=2cosx（sinxcos+cosxsin）－sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin（2x+）∴f（x）的最小正周期T=π（2）当2x+=2kπ－，即x=kπ－（k∈Z）时，f（x）取得最小值－2。例4.已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值_________。解法