高中数学二次函数性质的研究 合作与讨论

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1、二次函数性质的研究合作与讨论　　1．在同一坐标系下画出y＝3x2和y＝3x2－3x＋的图象，观察两个图象的异同．结合上面两个图象谈谈在函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，参数a、b、c对函数图象的影响．　　分析：函数解析式不同，函数图象就有所不同，但函数图象中的某些特征却有可能相同．哪些特征相同，哪些特征不同与解析式中的参数a、b、c密切相关．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a确定抛物线的开口方向和开口大小，c是抛物线与y轴交点的纵坐标，b与a一起确定抛物线的对称轴，b2－4ac确定图象与x轴是否有交点

2、，几个交点及顶点的纵坐标等．　　2．我们初中还学过一元二次方程，其形式为ax2＋bx＋c＝0　（a≠0），那么如何理解一元二次方程与一元二次函数的关系?　　分析：一元二次方程的根就是相应的一元二次函数与x轴交点的横坐标，反之一元二次函数与x轴交点的横坐标就是相应方程的根．二者关系密切．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根x1、x2与对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）之间的关系如下表．　本节学习二次函数图象的形状和位置以及二次函数的性质．　　突破思路　　本节是在学生已经知道二次函数的图象为抛物线，

3、并且了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征的基础上，对二次函数的图象和性质的再研究．　　1．二次函数图象的形状和位置　　课本首先提出了三个问题，即（1）y＝x2和y＝ax2（a≠0）的图象之间有什么关系?（2）y＝ax2和y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的图象之间有什么关系?（3）y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象之间有什么关系?这三个问题，指明了本节课我们的研究方向．　　我们首先通过具体函数y＝x2和y＝2x2的图象，总结得出把y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍，得到y＝ax2的图象，其次，

4、通过初中所学的平移知识，即“左加右减，上加下减”的方法得到，只需把y＝ax2的图象向左（或右）平移，再向上（或下）平移，就可得到y＝a（x＋h）2＋k的图象．而对于y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数图象，课本仍通过具体例子说明，只需把y＝ax2＋bx＋c配方成y＝a（x＋h）2＋k的形式后，即可通过前面的方法得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数图象．这种把y＝ax2＋bx＋c（a≠0）转化为y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的形式，然后再讨论y＝ax2与y＝a（x＋h）2＋k的图象间的关系的方法，体现了化归与转

5、化的数学思想．　　二次函数图象的上述变换过程，也可以通过《几何画板》作出课件，利用课件演示，让学生能更直观地感受到图象的变换过程．通过计算机提供的一种动态的作图过程，能够激发学生对数学的兴趣，大大提高了教学效益．　　上述研究二次函数图象的形状和位置的拓展过程，也可以用于研究一般函数图象的变换过程．　　课本例1考查的是二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，系数对开口大小和开口方向的影响．　　2．二次函数的性质　　二次函数的性质主要包括图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间以及最大值和最小值．开口方向、顶

6、点坐标、对称轴、最大、最小值，这些性质学生在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，课本首先通过图象观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明．在教学时，应该让学生自己试着去证，因为用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．　　确定二次函数的性质，课本体现了两种方法，一方面可以通过图象直观地观察得到；另一方面也可以将f（x）＝ax2＋bx＋c配方成，通过a，，得到函数的性质，并且可以依据其性质画函数图象．这两个方面实际上体现的是数形结合的思想方法．例2考查通过配方法求得函数性质，并利用性质作

7、图象．例3是一个二次函数应用题，通过函数建模列函数解析式，求最大值．知识总结　　1．二次函数的解析式的三种形式：　　（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；　　（2）顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）；　　（3）两根式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．　　2．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标是（，　　）．　　（1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，）上递减，在［，＋∞）上递增，当，；　　（2）当a＜0时，抛物线开口

8、向下，函数在（－∞，）上递增，在［，＋∞）上递减，当时，．　　3．解决与二次函数有关的问题，关键是通过配方得出顶点（，），由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、最值和判别式等．4．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，那么，怎样确定二次函数在闭区间［m，n］上的最值呢？笔者认为，关键是看二次项系数a的符号和对称轴的位置．　　若a＞0，则　　（1）（即对称轴