高中数学函数的单调性 合作与讨论

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1、函数的单调性合作与讨论　　1．单调性定义中的x1、x2有什么特征?　　函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是任意性；二是有大小；三是同属于一个单调区间．　　2．如何证明函数的单调性?　　证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：　　（1）取值：设x1、x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2；　　（2）作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；　　（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；　　（4）判断：根据定义作出结论．　　3．函数的单调性的常用判断方法　　判断方法：定义法、图象法、复合

2、函数法．　　（1）定义法的步骤：　　①设x1、x2是给定区间内的任意两个值，且x1＜x2；　　②作差f（x1）－f（x2），并将差变形、化简；　　③判断f（x1）－f（x2）的正负；　　④下结论．　　（2）图象法的步骤是画出图象，由图象观察得到．　　（3）复合函数法的步骤：　　①分解函数成简单函数的形式；　　②利用同增异减判断．　　4．函数单调性可以从三个方面理解　　（1）图形刻画　　对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．　　（2）定性刻画　　对于给定区间上的函数f（x），如函数

3、值随自变量增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量增大而减小，则称函数在该区间上单调递减．　　（3）定量刻画，即定义上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径．规律总结　　本节主要的知识点为：函数的单调性以及单调函数的概念．要从理解概念的本质出发，找到应用概念解决问题的方法．本节涉及的主要类型题为：　　1．证明函数的单调性．方法见［合作讨论］3．　　2．求函数的单调性及单调区间．　　方法有：（1）利用定义．　　（2）利用已知函数的单调性．　　（3）利用函数的图象．　　3．含参数的函数的单调性的判断，往往对参数要进行分类讨论．　　4．已知含参数的函数的单调区间，判断其参

4、数取值范围，往往与函数图象结合．通过本节课的教学，启示学生养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，培养学生的数形结合思维品质．思路分析　　函数的单调性这一性质在初中只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而本节对函数单调性的要求则上升到理论的高度，要求学生用准确的数学语言表达，这种由形到数，由直观到抽象的转变对学生来说是较困难的，教学中可以从学生熟悉的函数图象出发，利用图象的增减性引导学生发现自变量与函数值的变化规律，并将这种规律用数学语言表达出来，从而使学生逐步靠拢函数单调性的抽象定义．　　在教学函数单调性的判断或证明中的第三步变形时，要让学生明确变换的目标，灵活恰当地综合

5、运用一些知识（如不等式、因式分解、数形结合的思想方法等）进行准确断号．本节将比较两个数的大小、解不等式、求函数的值域或最值等问题转化为研究函数单调性的问题，旨在使学生进一步体会到函数单调性的重要应用．规律总结　　本节主要的知识点为：函数的单调性以及单调函数的概念．要从理解概念的本质出发，找到应用概念解决问题的方法．本节涉及的主要类型题为：　　1．证明函数的单调性．方法见［合作讨论］3．　　2．求函数的单调性及单调区间．　　方法有：（1）利用定义．　　（2）利用已知函数的单调性．　　（3）利用函数的图象．　　3．含参数的函数的单调性的判断，往往对参数要进行分类讨论．　　4．已知含参数

6、的函数的单调区间，判断其参数取值范围，往往与函数图象结合．通过本节课的教学，启示学生养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，培养学生的数形结合思维品质．函数单调性的应用　　函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决我们现实生活中与之相关的实际问题．　　【例题】甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x（km／h）的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小?如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶?　　分析：

7、根据汽车运输成本y元与行驶速度xkm／h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决．　　解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为．∴［其中x（0，＋∞）］，即将此时的问题转化为：“函数是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y取最小值？”下面讨论函数（x（0，＋∞），a＞0，b＞0）在其定义域内的单调性．　　设x1、x2（0，＋∞），且x1＜x2，则∵x1、x2＞0，且x1＜x2，∴x1x2＞0，a（x1－