高中数学简单的幂函数 合作与讨论

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1、简单的幂函数合作与讨论　　1．函数的奇偶性和函数的单调性是函数性质的两个方面．那么函数的奇偶性与其单调性是否有关?如何理解它们的关系．　　分析：因为奇函数的图象关于原点对称．所以结合图象可得奇函数在（a，b）与（－b，－a）上的单调性相同．因为偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数在（a，b）与（－b，－a）上的单调性相反．　　2．画出y＝x，y＝x2，y＝x3的图象，结合图象讨论y＝xn，（nN*）时，函数值的变化情况．　　分析：图象如下：　　由图象观察得：　　当nN*时，幂函数y＝xn有下列性质：　　（1）图象都通过点（0，0）、（1，1）；　　（2）在第一象限内，

2、函数值随x的增大而增大．　本节学习简单的幂函数．思路分析　　幂函数是在学生熟知的函数y＝x，y＝x－1，y＝x2等函数的基础上，通过观察它们解析式的相同点与不同点，概括得出的．所以在学习时，应该让学生观察总结自然得出幂函数的定义．同时，学生还可以举出许多幂函数的例子，如y＝x3，y＝x5，y＝x－4等．　　作为一种新函数，要想对它有进一步的认识，首先要画其图象．通过图象认识其相关性质，所以课本上采用了描点作图的方法．画出了y＝x3的图象．并通过图象观察它的单调性和对称性．　　由y＝x3的图象关于原点对称，y＝x2的图象关于y轴对称，定义了奇函数和偶函数．函数的奇偶性是

3、函数的重要性质之一，借助于函数的奇偶性，我们在作函数图象时可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半．要正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件；②f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）是定义域上的恒等式．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，除此之外，还可以利用图象判断函数的奇偶性．其中，f（x）＝0是中学阶段所学的唯一一个既是奇函数又是偶函数的函数．规律总结　　1．如果一个函数自变量x在底数上，指数是一个常数，并且xa前的系数是1，即y＝xa形式的函数叫幂函数．　　2．深

4、刻理解奇（偶）函数的定义．当x是定义域内任一数值时，－x也必须在定义域内．因此，判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，再看f（－x）与f（x）或－f（x）是否相等．　　3．从数和形两个方面去理解函数的奇偶性，要充分利用f（x）与f（－x）的转化关系和图象的对称性解决有关问题．　　4．奇函数y＝f（x），若在x＝0处有意义，则必有f（0）＝0，也即它的图象必过（0，0）点．　　5．奇函数与奇函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数的乘积是奇函数；奇函数与奇函数之和为奇函数；偶函数与偶函数之和为偶函数．　　6．分段函数判断奇偶性的过程相当复杂，首先要特别注意x与－x的

5、范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f（x）与f（－x）对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．　相关链接　　幂函数y＝xn，我们分n＞0及n＜0两种情况研究幂函数的图象和性质．　　1．n＞0　　我们知道，y＝x的图象是直线（图1—14），y＝x2的图象是抛物线（图1—15）．图1—14　　　　　　　　　图1—15　　现在画函数y＝x3，及的图象．　　分别列出x，y的对应值表，用描点的方法，画出这三个函数的图象（图1—16，图1—17及图1—18）．　　y＝x3x…－1.5－1－0.500.511.5…y＝x3…－3.38－1－0.1300.131

6、3.38…　　x00.5123456…00.7111.411.7322.242.45…　　x…－3－2－10123……－1.44－1.26－1011.261.44…　　进一步研究可以看出：幂函数y＝x4，y＝x6，…的图象类似于y＝x2的图象；y＝x5，y＝x7，…的图象类似于y＝x3的图象；，，…的图象类似于的图象，，，…的图象类似于的图象．　　　　　图1—16　　　　　　　图1—17　　　　　　　　　图1—18　　下面在同一坐标系内画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，的图象（图1—19），我们可以看出，当n＞0时，幂函数y＝xn有下列性质：　　（1）图象都通过

7、点（0，0）、（1，1）；　　　（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大．　　　　　　　　　　　　图1—19　　　　　　　　　图1—20　　2．n＜0　　我们知道，幂函数y＝x－1的图象，即反比例函数的图象，是两支曲线（图1—20）．　　现在画函数y＝x－2的图象．　　分别列出x，y的对应值表，用描点的方法，画出这两个函数的图象（图1—21，图1—22）．　　x…－3－2－1123…y＝x－2…1441…　　X…14……4321…图1—21　　　　　　　　图1—22　　在同一坐标系内画出y＝x－1，y＝x－2，的图象（图1—23），我们可以看出，当