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时间:2018-12-17
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1、解决数列题的主要策略孙枫许成文在处理数列题时,最基本的方法是运用定义及公式来解决,但是有时恰当地使用等差、等比数列的性质能给人以出奇制胜、耳目一新的感觉;同时在解决数列题时要注意加强与函数的联系,通过相应的函数及其图象的特征变化地、直观地去认识数列的性质。一.用定义和公式解题1.在数列中,前n项和,求。分析:为了求通项公式应先得到关于项的递推公式,由得,当n=1时,。当时,,可得:。∵∴数列为等比数列评析:本题先得到关于项的递推公式,再根据等比数列的定义得出数列的通项公式。2.数列是等差数列,是数列的前n项和,已知,为的前n项和,求。分析:本
2、题直接用数列的性质做对多数学生来说有困难,可以考虑用公式解题。解:设等差数列的公差为d,则即解得∴数列是等比数列,其首项为,公差为。评析:此题运用了等差数列的定义,通项公式与求和公式,这两个公式中共涉及五个量,知道其中的三个可以求另两个,用定义和公式解题是解决数列问题的基本方法。3.已知数列为正项等比数列,它的前n项和为80,其中最大的项为54,前2n项的和为6560,试求此数列的首项和公比q。分析:利用性质解决该题并不方便,可以用公式来解。解:∵∴依题意有解得又∵q>0∴q>1∴前n项中最大,将代入式(1)得,由得:因此有评析:在运用等比数
3、列求和公式时要注意公式的应用条件即,同时这里运用了整体代换的技巧简化运算,在用公式解题时,要树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,这样才能取得好的效果。练习:1.在数列中,(c为非零常数)且前n项和,则实数k等于()A.B.1C.0D.22.数列中,,当时,其前n项和满足,求的表达式。二.用性质解题1.已知数列是等比数列,,则_________。解法一:∵∴公比解法二:∵数列是等比数列∴为一等比数列,其首项为1,公比为2,为该数列第五项,易求出其结果为16。评析:此题可以用定义也可以用性质完成,用性质考虑可以避开对公比的讨论,同时也简化了
4、运算,提高了解题速度。2.数列是等差数列,是数列的前n项和,已知,求项数n。分析一:设数列的公差为d,由已知可列方程组由(1)(2)可得代入(3)可求出分析二:,又如何求呢?,又如何求呢?评析:用公式来解,运算量很大,因而不可取;巧妙地运用性质,解法很简捷。因而我们在利用定义和公式这种通法解题的同时,还要恰当地运用性质,往往有事半功倍的效果。3.一个等差数列的前3项之和为34,最后3项之和为146,所有项之和为360,则这个数列共有________________项。分析:∴n=6评析:用等差数列的性质解题方法简捷。练习:1.知等差数列中,,
5、则____________;2.等比数列中,若,则此数列的前10项的积为____________。3.数列是公比为2的等比数列,且,则_______。4.已知等差数列中,,且是数列的前n项和,则()A.都小于0,都大于0B.都小于0,都大于0C.都小于0,都大于0D.都小于0,都小于0三.用函数思想研究数列问题1.在等差数列中,,,问该数列的前多少项和最小?解法一:设数列的公差为d,由题意得即解不等式组解得∴n=10或11时,取最小值解法二:设数列的公差为d,由题意得即∴n=10或11∴n=10或11时,取最小值。解法三:∵是等差数列∴∴数列
6、的图象是函数图象(开口向上的抛物线)上的一系列点∵∴抛物线的对称轴是x=10.5∵∴n=10或11∴n=10或11时,取最小值。评析:解法一利用了等差数列单调性,所有负项的和最小;解法二中把看成n的二次函数,将问题转化成函数的最值问题;解法三利用等差数列的前n项和构成的数列的图象是抛物线上的一系列点,进而借助二次函数的图象来求最值,这种数列结合的方法既直观又简捷。2.数列中,已知,则对于任意正整数n都有()A.B.与的大小关系和c有关C.D.与的大小关系和c无关分析:∵∴当时,;当c=1时,;当时,∴选B3.已知,数列满足。(1)求证:数列是
7、等比数列;(2)若,当n取何值时,取最大值,并求出最大值。解:(1)由等比数列的定义可以证明,并得出,过程略(2)当,时,即当n=7或n=8时,即当,时,即∴且这两项同时最大评析:数列是定义在正整数集或正整数集的有限子集上的函数,因而数列也有单调性、周期性、最值等性质,本题通过研究的符号来得出数列单调性,进而求出最大值。4.已知数列的通项公式是,其中a、b均为正常数,那么与的大小关系是()A.B.C.D.与的大小关系不确定解法一:∵解法二:∴数列是递增的解法三:∴数列是递增的评析:解法一是通过作差来研究数列的单调性;解法二和解法三则是直接利用
8、简单函数的单调性来得出数列的单调性的,其中解法三是非常简捷的。练习:1.已知函数的最大值不大于,又当时,。(1)求a的值;(2)设,求证:。2.已知数列中,,则下列
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