解决数列题的主要策略 学法指导

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1、解决数列题的主要策略孙枫许成文在处理数列题时，最基本的方法是运用定义及公式来解决，但是有时恰当地使用等差、等比数列的性质能给人以出奇制胜、耳目一新的感觉；同时在解决数列题时要注意加强与函数的联系，通过相应的函数及其图象的特征变化地、直观地去认识数列的性质。一.用定义和公式解题1.在数列中，前n项和，求。分析：为了求通项公式应先得到关于项的递推公式，由得，当n=1时，。当时，，可得：。∵∴数列为等比数列评析：本题先得到关于项的递推公式，再根据等比数列的定义得出数列的通项公式。2.数列是等差数列，是数列的前n项和，已知，为的前n项和，求。分析：本

2、题直接用数列的性质做对多数学生来说有困难，可以考虑用公式解题。解：设等差数列的公差为d，则即解得∴数列是等比数列，其首项为，公差为。评析：此题运用了等差数列的定义，通项公式与求和公式，这两个公式中共涉及五个量，知道其中的三个可以求另两个，用定义和公式解题是解决数列问题的基本方法。3.已知数列为正项等比数列，它的前n项和为80，其中最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项和公比q。分析：利用性质解决该题并不方便，可以用公式来解。解：∵∴依题意有解得又∵q>0∴q>1∴前n项中最大，将代入式（1）得，由得：因此有评析：在运用等比数

3、列求和公式时要注意公式的应用条件即，同时这里运用了整体代换的技巧简化运算，在用公式解题时，要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，这样才能取得好的效果。练习：1.在数列中，（c为非零常数）且前n项和，则实数k等于（）A.B.1C.0D.22.数列中，，当时，其前n项和满足，求的表达式。二.用性质解题1.已知数列是等比数列，，则_________。解法一：∵∴公比解法二：∵数列是等比数列∴为一等比数列，其首项为1，公比为2，为该数列第五项，易求出其结果为16。评析：此题可以用定义也可以用性质完成，用性质考虑可以避开对公比的讨论，同时也简化了

4、运算，提高了解题速度。2.数列是等差数列，是数列的前n项和，已知，求项数n。分析一：设数列的公差为d，由已知可列方程组由（1）（2）可得代入（3）可求出分析二：，又如何求呢？，又如何求呢？评析：用公式来解，运算量很大，因而不可取；巧妙地运用性质，解法很简捷。因而我们在利用定义和公式这种通法解题的同时，还要恰当地运用性质，往往有事半功倍的效果。3.一个等差数列的前3项之和为34，最后3项之和为146，所有项之和为360，则这个数列共有________________项。分析：∴n=6评析：用等差数列的性质解题方法简捷。练习：1.知等差数列中，，

5、则____________；2.等比数列中，若，则此数列的前10项的积为____________。3.数列是公比为2的等比数列，且，则_______。4.已知等差数列中，，且是数列的前n项和，则（）A.都小于0，都大于0B.都小于0，都大于0C.都小于0，都大于0D.都小于0，都小于0三.用函数思想研究数列问题1.在等差数列中，,，问该数列的前多少项和最小？解法一：设数列的公差为d，由题意得即解不等式组解得∴n=10或11时，取最小值解法二：设数列的公差为d，由题意得即∴n=10或11∴n=10或11时，取最小值。解法三：∵是等差数列∴∴数列

6、的图象是函数图象（开口向上的抛物线）上的一系列点∵∴抛物线的对称轴是x=10.5∵∴n=10或11∴n=10或11时，取最小值。评析：解法一利用了等差数列单调性，所有负项的和最小；解法二中把看成n的二次函数，将问题转化成函数的最值问题；解法三利用等差数列的前n项和构成的数列的图象是抛物线上的一系列点，进而借助二次函数的图象来求最值，这种数列结合的方法既直观又简捷。2.数列中，已知，则对于任意正整数n都有（）A.B.与的大小关系和c有关C.D.与的大小关系和c无关分析：∵∴当时，；当c=1时，；当时，∴选B3.已知，数列满足。（1）求证：数列是

7、等比数列；（2）若，当n取何值时，取最大值，并求出最大值。解：（1）由等比数列的定义可以证明，并得出，过程略（2）当，时，即当n=7或n=8时，即当，时，即∴且这两项同时最大评析：数列是定义在正整数集或正整数集的有限子集上的函数，因而数列也有单调性、周期性、最值等性质，本题通过研究的符号来得出数列单调性，进而求出最大值。4.已知数列的通项公式是，其中a、b均为正常数，那么与的大小关系是（）A.B.C.D.与的大小关系不确定解法一：∵解法二：∴数列是递增的解法三：∴数列是递增的评析：解法一是通过作差来研究数列的单调性；解法二和解法三则是直接利用

8、简单函数的单调性来得出数列的单调性的，其中解法三是非常简捷的。练习：1.已知函数的最大值不大于，又当时，。（1）求a的值；（2）设，求证：。2.已知数列中，，则下列