高三数学理科复合函数的导数、对数与指数函数的导数例题解析 人教版

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1、高三数学理科复合函数的导数、对数与指数函数的导数例题解析一.本周教学内容：复合函数的导数、对数与指数函数的导数二.本周教学重、难点：1.复合函数的求导法则设在点处有导数，在点的对应点处有导数，则在点处也有导数，且或2.对数函数的导数（1）（2）3.指数函数的导数（1）（2）【典型例题】[例1]求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）[例2]若，解不等式解：∵∴∴∴或∵两函数定义域为∴∴解集为（5，）[例3]设曲线在点M（）处的切线与轴围成的三角形面积为，求切线的方程。解：∴∴∴[例4]曲线在（

2、0，1）处的切线与的距离为，求的方程。解：    ∴曲线在（0，1）处的切线的斜率∴切线方程为设的方程为∴∴或6当时，为：当时，为：[例5]将水注入锥形容器中，其速度为，设锥形容器的高为，顶口直径为，求当水深为时，水面上升的速度。解：设注入水后，水深为，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为，这时水的体积为由于水面高度随时间而变化，因而是的函数由此可得水的体积关于时间的导数为由假设，注水速度为∴即∴当时，水面上升的速度为：[例6]求下列函数的导数（1）（2）解：（1）∵∴两边取对数得两边求导得：∴（2）∵∴两边取对数：在上式两边求导得整理后得[例7]已知曲

3、线与，其中，且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。证明：设两曲线公共点为（）则，即∴∴∴（）对有对有∵∴∴两曲线彼此相切[例8]设曲线在处的切线为，数列中，且点（）在上。（1）求证：数列是等比数列，并求；（2）求的前项和。（1）证明：由得时，又∵∴切线方程为即∵（）在切线上∴则即∴是以为首项，2为公比的等比数列∴即（2）解：由（1）知∴的前项和[例9]已知求的反函数及解：设∴∴∴∴∵∴【模拟试题】一.选择：1.函数的导数是（）A.B.C.D.2.已知，则等于（）A.B.2C.D.03.函数的导数是（）A.B.C.D.4.在处的切线方程是（）A.B.C

4、.D.5.若，则等于（）A.5B.20C.40D.06.已知，则等于（）A.0B.1C.D.7.已知某函数的导数是，则这个函数可能是（）A.B.C.D.8.函数的导数等于（）A.B.C.D.二.解答：1.首先指出下列函数是怎样复合的，然后求导：（1）；（2）；（3）2.求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）3.已知曲线C1：与C2：，直线与C1、C2都相切，求直线的方程。[参考答案]http://www.DearEDU.com一.1.D2.D解析：∴3.C解析：4.B解析：，时，∴切线方程为5.D解析：  ∴6.D解析：∴7.C8.C解析：二.1.（1）

5、解：设，则∴（2）解：设，则∴（3）解：设2.解：（1）（2）由对数运算性质，有（3）（4）3.解：依题意，可设直线与相切于点与相切于点，对于，则与相切于点P的切线方程为，即，对于，则与相切于点Q的切线方程为，即∵两切线重合∴解得或∴直线的方程为或