对数函数与指数函数的导数一.doc

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1、对数函数与指数函数的导数一课题：3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：；；；2.法则1　．法则2,法则33.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应

2、点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或f′x((x))=f′(u)′(x).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．二、讲解新课：⒈对数函数的导数（1）：证明：∵∴，∴=∴．即　　．附：重要极限或2.对数函数的导数（2）：证明：根据对数的换底公式　　　．根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求一些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求的导数．解：y′=［ln(2x2+3x+

3、1)］′=(2x2+3x+1)′=例2求的导数．解法一：y′=(lg)′=lge·()′=··(1－x2)(1－x2)′=··(－2x)=分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导解法二：∵y=lglg(1－x2)∴y′=［lg(1－x2)］′=lge(1－x2)′=·(－2x)=说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导．实际上，解法1中，，，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中，，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y=ln(－x)的导数.分析：由复合函数求导法则：y′x=y′u·u′x对原函数由外向内逐个拆成几个简

4、单的基本初等函数.解：例4若f(x)=ln(lnx)，那么f′(x)

5、x=e=.(B)A.eB.C.1D.以上都不对解：f′(x)=［ln(lnx)］′=·(lnx)′=f′(x)

6、x=e==例5y=ln［ln(lnx)］的导数是(C)A.B.C.D.解：y′=［ln(lnx)］′=·(lnx)′=··=所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.例6求y=ln

7、x

8、的导数.解：当x＞0时，y=lnx.y′=(lnx)′=；当x＜0时，y=ln(－x)，y′=［ln(－x)］′=(－1)=，∴y′=错误方法：y′=(ln

9、x

10、)′=，

11、x

12、可以看成ln

13、

14、x

15、的中间变量，对

16、x

17、还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y=loga的导数.解：y′=(loga)′=logae·()′例8（仅教师参考）求y=的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u(x))v(x)的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x求导.解：y=两边取自然对数.lny=ln=(lnx)n·lnx=(lnx)n+1.两边对x求导，y′=(n+1)(lnx)n·(lnx)′=(n+1)∴y′=·y=·=(n+1

18、)(lnx)n·.四、课堂练习：求下列函数的导数.1.y=xlnx解：y′=(xlnx)′=x′lnx+x(lnx)′=lnx+x·=lnx+12.y=ln解：y′=(ln)′=()′=x·(－1)·x－2=－x－1=－.3.y=loga(x2－2).解：y′=［loga(x2－2)］′=(x2－2)′=.4.y=lg(sinx)解：y′=［lg(sinx)］′=(sinx)′=cosx=cotxlge.5.y=ln.解：y′=(ln)′6.y=ln解：y′=(ln)′.7.y=－ln(x+1).解：y′=()′－［ln(x+1)］′8.y=.解：y′=五、小结：⑴要记住并

19、用熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便六、课后作业：求下列函数的导数：⑴；⑵；⑶；⑷．解：⑴　　　　；⑵；⑶；⑷七、板书设计（略）八、课后记：