高三数学文科函数的单调性知识精讲 人教版

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1、高三数学文科函数的单调性知识精讲一.本周教学内容：函数的单调性1.概念：设函数的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么称函数在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，则称在这个区间上是减函数。（3）单调区间：如果函数在某个区间是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做的单调区间。注：①中学单调性是指严格单调的，即不能是或②单调性刻画的是函数的“局部”性质。如在与上是减函数，不能说在上是减函数。③单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2

2、.单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）（1）定义法[例1]证明函数在R上是增函数证：设，则而分子分母故得证补：讨论函数的单调性解：设时，对任，，设，而即故在单增，同理在单减当时，同理在（）单减，在（1，）单增[例2]讨论的单调性解：设，则（1）当时，，（2）当时，，故在上是减函数，在上是增函数[例3]试求函数（）的单调区间分析：考虑到以下分类讨论（1）当时①若，则，增②若，则，减③若，则，减④若，则，增（2）当时①若，则增②若，则增综上所述，时，在或上是减函数在或上是增函数时，在或上是增函数函数范围定义域值域渐近线及奇偶性奇函数单调性在及分别单调

3、递增在及上分别单调递减在上递增，在上递增另法，利用导数（1）若则（2）若，则下证高考分式函数试题类型与解法研究[例4]讨论分式函数的单调性（）以下只研究与两种情形对于与可利用对称性得到。解：当时，由利用导数可知在与上为单增函数在与为单减函数当时，由知在与上为增函数，图象如下[例5]（1997全国）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使

4、全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为，（2）依题意都为正数，故有当且仅当即时，上式中等号成立①若，则当时全程运输成本最小②若，函数在上是减函数那么当且仅当时，全程运输成本最小综上所述可知，为使全程运输成本最小，当时行驶速度应为；当时，行驶速度应为[例6]在中，，现将分别以BC、AC、AB所在直线为轴，旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为。（1）求（用，表示）（2）若为定值，并令，将T表示为的函数，写出这函数的定义域，并求这函数的最大值（3）当在内变化时，求的最大值。解：（1）设的BC、AC、AB边上的高分别为，

5、由，，得，，于是得（2）令，则由得代入（*）得当为定值时，即又，于是（当且仅当时，取等号）又由，知，所以函数的定义域为因为在上递增，所以当，即时，T取最大值，此时（3）由于，是减函数，从而当时，取最大值为注：分式函数变通形式，函数的单调性将函数式变形为令，则由单调性，在即上单减在即上单增在即上单减在即上单增（2）复合函数的单调性在复合函数中，设和都是单调函数①若为增函数，则的增减性与相同；②若为减函数，则的增减性与相反。区间单调性函数ABCD++－－+－+－+－－+利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤（1）先确定复合函数的定义域（2）在定义域内分别研究及的单调性（分拆）（3）列表

6、，得结论[例7]讨论函数的单调性解：由知定义域令，以下先研究，的单调性令，（0，1）（1，）－－++－－－－++－－而在R上为减函数，故利用复合函数单调性结论知在及上是减函数，在（0，1）及（1，）上是增函数。补：（95高考）已知在[0，1]是减函数，则的取值范围是（B）A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.解：依题意，又故（也可由，，（∵）从而）[例8]讨论的单调性解：由定义域（）令，而当时是减函数，故（）－+－故在其定义域（）上是减函数[例9]讨论的单调性解：由定义域令，，以下先考虑的单调性由结合定义域知它在单减，在上单增－+－－+－故，在上是增函数在上是减函数[例10]

7、（1989全国）已知，求的单调区间。解：依题意定义域为R，令，则由知其在上单增，在上单减而知，在单增，在单减又由或；所以单减区间和单增区间与（0，1）（0，1）（1，）++－－+－－++－+－（3）利用单调性性质结论1：两增函数的和在公共定义域上仍为增函数[例11]讨论函数的单调性解：定义域①若，与均为减函数故也是减函数②若时由与都是增函数且，是减函数综上，在R上是减函数，此结论用到以下事实。又如讨论的单调性解：利用反比例函数的单调性可知当时，在与上是减函