函数的单调性与周期性知识精讲 人教版

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1、函数的单调性与周期性知识精讲一.本周教学内容：函数的单调性与周期性【基本知识】1.函数的奇偶性1°有关定义，设函数y＝f(x)，x∈D对任意的x∈D，有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数。设函数y＝f(x)，x∈D对任意的x∈D，有f(－x)＝－f(x)，则y＝f(x)是奇函数。由定义得：（1）函数的定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件，所以判断函数奇偶性应首先判断函数定义域是否关于原点对称，如f(x)＝x2，x∈(－1，1]为非奇非偶函数。（2）函数按奇偶性分类：奇函数但非偶函数，偶函数但非奇函数，非奇非偶函数，既是奇

2、函数又是偶函数（其表达式必为f(x)＝0）（3）奇偶函数的定义域未必包括原点，若y＝f(x)是奇函数且f(0)有意义，则f(0)＝0。2°图象特征：若y＝f(x)是奇函数，则y＝f(x)的图象关于原点对称，反之亦然。若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于y轴对称。3°关于奇偶性的应用（1）利用函数奇偶性求有关函数值。（2）利用奇偶性求有关函数解析式。（3）利用奇偶性研究函数的其他性质。（4）奇偶性的推广（对称性）推广：I若对任意的x∈D（D为f(x)的定义域），都有f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称

3、，证：设(x0，y0)为y＝f(x)的图象上一点，(x0，y0)关于直线x＝a，对称点为(2a－x0，y0)，在y＝f(x)的图象上，所以f(x)图象关于x＝a对称。II若对任意的x∈D都有f(2a－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于x＝a对称。IV若对任意的x∈D，都有f(a＋x)＝f(a－x)如果f(x)＝0有2n个根，则其和为2na如果f(x)＝0有2n＋1个根，则其和为(2n＋1)a且必有一根为a2.函数的周期性1°有关概念设函数y＝f(x)，x∈D若存在非零常数T，使得对任何x∈D都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数

4、。由定义可知：1°周期不唯一，若T为y＝f(x)的周期，则kT(k≠0)，也为y＝f(x)的周期。2°若函数存在最小正周期，则通常我们求周期时，只求最小正周期。3°求周期一般是用分析观察法，定义法（即满足f(x＋T)＝f(x)，求T），公式（如y＝sinx的周期推广：(1)若对任意的x∈D，都有f(x＋a)＝f(x－b)，则f(x)是周期函数且T＝2a。(2)对任意的x∈D，若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则f(x)是周期函数且T＝2a，证：f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝f(x＋a－a)＝f(x)得证。(3)对任意的x∈D，若f

5、(x＋a)＝－f(x－b)，则f(x)是周期函数且T＝2a＋2b。(4)若f(x＋a)＝－f(x－a)对任意x∈D成立，则f(x)为周期函数，且周期T＝4a。二.重点、难点：重点：奇偶性和周期性的定义及运用。难点：函数奇偶性和周期性性质的推广和综合运用。【例题分析】例1.下面函数中，与函数分析：此题需用定义分别判别每个函数的奇偶性。解：设则f(x)的定义域为x∈(－1，1)，并且对于定义域内的任意x。故f(x)是奇函数，而不是偶函数。不关于原点对称，它既不是奇函数又不是偶函数。小结：判断函数奇偶必须先判定其定义域是否关于原点对称，另此题中的

6、例2.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5分析：可利用奇函数的性质知f(x＋2)＝－f(x)，将7.5的函数值转化为[0，1]上求解。解：故选B小结：此题是1997年全国高考试题。以上是最一般的解法，若对f(x＋2)＝－f(x)有深入理解：此函数为T＝4的周期函数，∴f(x＋4)＝f(x)，则－8也为其周期，例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意解：（2）依题意有y＝f(x)关于直线x＝1

7、对称，故f(x)＝f(1＋1－x)又由f(x)是偶函数知f(－x)＝f(x)(x∈R)这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的周期。例4.已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1，2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)+g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式。解：设例5.已知（1）判断f(x)的奇偶性。（2）证明f(x)>0。（1）解：（2）证明：由解析式易得当x>0时，有f(x)>0，又f(x)是偶函数，且当x<0时，－x>0，∴当x<0时，f(x)=f(-x)>0，即对于x≠0的任何实数x，均有f(x)>0【模拟

8、试题】一.选择题：1.若且，则函数（）A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数2.若函数分别是上的奇函数和偶函数，则函数的图象一定关于（）A.