高三数学基本初等函数知识精讲 人教实验版b

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1、高三数学基本初等函数知识精讲一.本周教学内容：基本初等函数指数的概念与运算，指数函数，对数的概念与运算，对数函数，幂函数的概念和性质，基本初等函数的应用。二.教学重点幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及其应用三.高考要求1.指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解有理指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2.对数函数（1

2、）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。4.（通过实例）了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况。5.（利用计算工具，比较）了解指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异；（结合实例）体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。【

3、教学过程】一、基本知识回顾及应用举例1.指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。②性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，。（2）幂的有关概念（）①规定：1）3）；（4）、N*且。②性质：1）、Q）；2）、Q）；3）Q）。（注）上述性质对r、R均适用。（3）对数的概念①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作

4、；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：。③运算性质：如果则1）；2）；3）R）。④换底公式：1）；2）。2.指数函数、对数函数、幂函数（1）指数函数：①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。③函数值的变化特征：（2）对数函数：①定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；3）当时函数

5、为减函数，当时函数为增函数；4）对数函数与指数函数互为反函数。②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。③函数值的变化特征：（3）幂函数y=xa（a为常数）是幂函数.它在第一象限内的情况分为a＞1，0＜a＜1；a＜0三种情况，其中a＞0时，y=xa，在（0，+∞）内为增函数；a＜0时，y=xa，在（0，+∞）内为减函数。a【典型例题】例1.（1）计算：；（2）化简：。解：（1）原式=；（2）原式=。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数

6、幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般地进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2.已知，求的值。解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。例3.计算（1）；（2）；（3）。解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例4.（1）.若lo

7、gx=z，则x、y、z之间满足A.y7=xzB.y=x7zC.y=7xzD.y=zx解：由logx=zxz=x7z=y，即y=x7z.答案：B（2）（2006辽宁文13）方程的解为。解：考查对数运算。原方程变形为，即，得。且有。从而结果为。点评：关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数式的普通等式或方程的形式，再来求解。例5.下列函数中值域为正实数的是A.y=－5xB.y=（