函数的值域与函数性质知识精讲 人教实验版b

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1、函数的值域与函数性质知识精讲一.本周教学内容：函数的值域与函数性质【教学内容】函数的值域和最值；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性【教学重点】函数的性质及其应用【复习目标】1.掌握求函数值域常用的几种方法：配方法，判别式法，利用单调性，不等式法，换元法，反函数法，数形结合法等；2.理解函数奇偶性的定义，能判断一些函数的奇偶性，掌握奇偶性的对称关系；3.理解函数单调性的概念，能判断一些函数的单调性，了解周期性的意义.【教学过程】一、基本知识方法回顾（一）求函数值域是函数中常见的问题，在初等数学范围内，直接法的途径有配方法，单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函

2、数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。以下试举例说明常用方法.例1.求下列函数的值域（1）y＝1－2x（x∈R）（2）y＝｜x｜－1x∈｛－2，－1，0，1，2｝分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于（1）（2）可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到（1）（2）的值域.解：（1）y∈R（2）y∈｛1，0，－1｝（3）y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）（

3、4）y＝｜x＋1｜－｜x－2｜分析：对于（3）（4）可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”（3）解：画出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的图象，如图所示，当x∈［－3，1］时，得y∈［－1，8］（4）解：对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xＡ≤－1，－1＜xＢ＜2，xＣ≥ｃ，可以看出｜xＡ＋1｜－｜xＡ－2｜＝－3－3＜｜xＢ＋1｜－｜xＢ－2｜＜3，｜xＣ＋1｜－｜xＣ－2｜＝3，由此可知，对于

4、任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈［－3，3］（5）y＝2x－3＋（6）y＝分析：对于（5）（6）可借用整体思想利用“换元法”求得值域（5）解：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.∵4x－13≥0∴x∈［，＋∞］令t＝则得：x＝∴y＝t2＋t＋∴y＝（t＋1）2＋3∵x≥∴t≥0根据二次函数图象可得y∈［，＋∞］（6）解：∵函数定义域为x∈R由原函数可化得：y＝令t＝1/（x2＋1）∵x∈R∴t∈［0，1］∴y＝5t2－t＋1＝5（t－）2＋根据二次函数的图象得当t＝时yｍｉｎ＝当

5、t＝1时，yｍａx＝5∴函数y的值域为y∈［，5］（7）y＝分析：对于（7）可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域解：∵y＝－∵∴y≠－∴函数y的值域为y∈（－∞，－）∪（－，＋∞）（8）y＝分析：对于（8）可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域解：由y＝得x∈R且可化为：（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0∴当y≠时，Δ＝［2（y＋1）］2－4（2y－1）（y＋3）≥0∴y2＋3y－4≤0∴－4≤y≤1且y≠又当y＝时，2（1＋）x＋（＋3）＝0得：x＝－，满足条件∴函数y的值域为y∈［－4，1］（9）y＝3－2x－x2x∈［

6、－3，1］（10）y＝分析：对于（9）（10）可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域（9）解：∵－3≤x≤1∴－2≤x＋1≤2∴｜x＋1｜≤2即（x＋1）2≤4∴y＝3－2x－x2＝－（x＋1）2＋4∈［0，4］∴函数y的值域为y∈［0，4］（10）解：由y＝可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1即（3－y）x2＝2y＋1若y＝3时，则有0＝7，这是不可能的∴y≠3得：x2＝∵x2≥0∴≥0解得：－≤y＜3∴函数y的值域为y∈［－，3）评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与

7、所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请同学们试一试.（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.（二）函数的通性（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f（x）≠0）。奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性