高一数学第十讲函数的应用举例

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1、高一数学第十讲函数的应用举例一．知识归纳：一般步骤：读懂题目，抽象概括，建立模型，寻求适解，实际说明。二．例题讲解：几何问题（注意自变量的实际意义）【例1】用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域解：如图，设AB=2x，则CD弧长=πx,于是AD=因此y=2x·,即y=-再由，解之得0＜x＜即函数式是y=-·+mx，定义域是：（0，）【例2】如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2m，边坡的倾角为45°，水深hm，求横断面中有水面积A（

2、m2）与水深h(m)的函数关系式.解：如图，作AC⊥CE，BD⊥CE，∴Rt△BDE面积：h，矩形面积：2h∴A=S矩+2=2h+2×h=h+2h(m)利率、增长率问题【例3】某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量360M经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M（1+4%），人口量为M（1+1.2%）则人均占有粮食为经过2年后,人均占有粮食

3、为……经过x年后，人均占有粮食y=,即所求函数式为：y=360()路程问题（分段函数）【例4】某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速vkm/h表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象.解：汽车离开A地的距离与时间t(h)之间的关系：x=它的图象如下图：车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式：v=它的图象如下图：物理模型联系数学问题【例5】

4、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,……,an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从a1,a2,a3,……an推出的a=解：由题意可知，所求a应使y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2最小由于y=na2-2(a1+a2+…+an)a+(a12+a22+…+an2)若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上

5、.当a=(++…+)，y有最小值.所以a=(++…+)即为所求.两个函数结合的问题【例6】某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来水60吨,若蓄水池向居民小区不间断地供水,且t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)。（1）供水开始几小时后，蓄水池中的水量最少？最少水量为多少吨？（2）若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供不紧张现象，试问在一天的24小时内，有多少小时会出现供水紧张现象，并说明理由。（1）设t小时后蓄水池中水量为y吨，则y=400+60t-120，令=x，则0≤x≤12这

6、时y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40当x=6即t=6时，ymin=40即从开始供水6小时后蓄水池中水量最少，最少水量为40吨。（2）由400+10x2-120x<80，得4

7、算，不按复利计算）某商品的进货价格为每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）为时，每天售出的件数，若想每天获得的利润最大，销售价格应定为每件多少元？60元容器内盛有100克盐水，把它倒出20克，再加入20克水，然后再倒出20克，再加入20克水，这样反复进行。若要使得盐的质量分数降到原来的10%，问至少需要进行这样的倒出盐水、加入盐水的操作多少次？（lg2=0.3010）11次某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办

8、法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并求出最大利润。解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y=(x-8)[60-10(x-10)]=-10[(x-12)-16]=-10(x-12)+160(x>10)当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元在边