导数及其应用（选修ii）（吕存于）

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1、导数及其应用（选修II）苍南龙港高中吕存于【考点解读】1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函

2、数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。4．体系整合基本导数公式导数的几何意义导数的概念两函数和、差、积、商的导数导数的运算导数的应用复合函数的导数导数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。热点一：导数的几何意义函数y=f(x)在点x0导数

3、的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。【错题分析】[错例1]（2004天津卷20（2））曲线f(x)=x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程。误解：f(x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，

4、而点A(0，16)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。正确解法：设切点坐标，则切线的斜率，切线方程，又因为点M在切线上，所以得【典型题例】例1:设P0(x0，y0)为曲线C:y=x3(x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，设Pn(xn，yn)(n∈N)。（1）求出过点P0的切线方程。（2）设xn=f

5、(n)(n∈N)，求f(n)的表达式；（3）求的值。点拨本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数解析（1）y′=3x2，∵P0(9，93)，∴切线P0Q1的斜率，∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93=243(x－9)，即243x－y－1458=0.（2）过Pn(xn，yn)的切线的斜率为kn=3x，切线方程为y－yn=kn(x－xn)，即y－x=3x(x－xn).令y=0得x=xn－=x，即Qn＋1的横坐标为xn，又∵直线Qn＋1Pn＋1∥y轴，∴Pn＋1的横坐标xn＋1=xn，由于x0=9，∴数列是公比为的等比数列∴xn=x0·()n=9×()

6、n，则f(n)=9×()n，（n∈N）（3）==27点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。【热点冲刺】1．已知曲线y=sinx,x在P点切线平行于直线x－2y=0，则P点坐标为。2．若a＞0，f(x)=ax2＋bx＋c，曲线y=f(x)在点P(x，f(x0))切线倾角为[0，]，则P到y=f(x)对称轴距离为（B）A、[0，]B、[0，]C、[0，

7、

8、]D、[0，

9、

10、]3．（预测题）(1990日本高考题)．设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线

11、分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△=(－1)2＋4a＞0，所以a＞－设此两交点为(α，α2)，(β,β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为y=2αx－α2，y=2βx－β2.两切线交点为(x，y)则因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a由此及②可得x=，y=－a＜从而，所求的轨迹为直线x=上的y＜的部分。热点二：利用