解题宜用“添”字诀 学法指导

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1、解题宜用“添”字诀杨文金所谓“添”，即往待解问题中添加若干必要的点、线、面、式、参数、坐标系等要素，使条件更趋于完善、丰满，以降低思维起点，利于问题的解决。下面举例说明。一、添加辅助线或图形例1.如图1，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，求面ASD与面BSC所成二面角的大小。分析：本题是求“无棱”二面角的大小。若已知二面角的一个公共点，又能在二面角的两个面内找到两条互相平行的直线，则过这个公共点作两条平行线的平行线，即为二面角的棱。解：作ST∥AD，则ST是面SDA与面BSC的交线。由SD⊥底面ABCD，则SD⊥AD，从而S

2、D⊥ST，∵底面是正方形，∴BC⊥CD，由三垂线定理有BC⊥SC。又BC∥AD∥ST，从而SC⊥ST，故∠CSD为所求二面角的平面角。在Rt△SBC中，则在Rt△SDC中，∴∠CSD＝45°，故面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°。评注：求“无棱”二面角的大小是立体几何中的一个难点，解决这类问题的策略之一就是添加二面角的棱，其途径一般有两种：（1）如上分析所述方法；（2）找出两个半平面的两个公共点，由两点确定一条直线，实现化“无棱”为有棱。例2.求证：分析：本题若用三角方法来证明。则很难奏效；倘若添加一个单位圆，借助单位圆，利用面积公式，便可得如下简捷

3、证法。证明：构造单位圆如图2，则由于所以即二、添加直角坐标系直角坐标系实现了数与形之间的真沟通。添加它，可使我们的解题工作左右逢源。例3.某人在山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC＝80（米），塔所在的山高OB＝220（米），OA＝200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为，试问，此人距水平地面多远时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？解：如图所示：建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）。直线l的方程为即设点P（x，y），则由经过两点的直线的斜率公式得又由直

4、线PC到直线PB的角的公式得要使达到最大，只须达到最小。由均值不等式得当且仅当时，上式取得等号，故当时，最大。这时，点P的纵坐标y为由此实际问题知，所以最大时，∠BPC最大。故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大。三、添加向量例4.已知求证证明：构造由得则所以评注：本题通过巧妙添加向量，赋予题目新的意境，运用解决问题，让人回味无穷。四、添加函数函数是联系运动与静止，变化与定值的有力工具，解题时，若能恰到好处地添加它，会对解题工作带来很大的帮助。例5.若则（）A.B.C.D.解：我们引入函数可得有（1）当时，为增函数；（2）当时，为减函数。于

5、是得，删除A，D，又知于是选C。五、添加辅助等式例6.求的值。解：设则由于故“添”这一数学思想在我们解题中的应用还有很多涉及，限于篇幅，不再一一举例了。