数学求极值的方法在物理问题中的应用 新课标 人教版

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1、数学求极值的方法在物理问题中的应用张文科（内蒙古包头市第九中学特级教师）运用数学知识处理物理问题，一直是物理教学必须注意培养学生五个方面能力中的重要的一个。教师要有意识地培养学生利用数学知识分析和讨论物理问题。其中，数学求极值的方法也在解决物理问题时被广泛应用。现就高中物理解题过程中常遇到的几种数学求极值的方法归纳如下，以期帮助学生认识到数学知识解物理问题时的重要性，并形成解决问题的数学意识和方法。1．关于的应用θF图1且=。要使Y有最大值，需,即。例1.如图1所示，质量为m的物块放置在水平地面上，物块与地面的动摩擦因素为μ要使小物块沿水平面匀速运动，θ为何值时

2、，F有最小值？是多少？解：以m为研究对象，受力分析如右图：NfmgFθm为匀速运动时：∴,。可见：只有当。2．关于的应用根据二次函数的特点，﹥0时，图像开口向上，Y有最小值;﹤0时，图像开口向下，Y有最大值。且只有时，Y有最值。例2．如图2，理想变压器输入端接在电动势为ε，内阻为γ的交流电压上，输出端接负载R，则变压器原副线圈的匝数比为多大时，负载R上消耗的电功率最大？是多少？解：设原副线圈的匝数分别为，电流分别为，电压分别为，则：电阻R消耗的电功率为ε.γn1R图2即可见当：时，P有最大值此时则又因：代入上述所求得：。说明当时，电阻R消耗功率最大方程，要使方程

3、有解，须满足。例3．如图3所示，在顶角为2的光滑的圆锥面上有一质量为m、带电量为的小球正沿锥面做匀速圆周运动，整个锥面都处在方向竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场中。3．关于判别式的应用：求：小球做匀速圆周运动的最小半径？解：以带电小球为研究对象，据题意分析可知，小球受力如图：重力、洛仑兹力、锥面支持力，设小球圆周运动的半径为R，根据运动情景和牛顿第二定律可知：BB图3θNfθmg且洛仑兹力∴要使方程成立，即小球能够在锥面做匀速圆周运动，必须速度有实数解，满足。即：所以：最小半径为4．关于的应用例4．如图4所示，一小物块由静止开始，分别沿如图所示的三个光滑斜面的

4、顶部滑下，问：沿哪个斜面滑到底部所用的时间最短？解：设斜面倾角为θ，斜面底边长为L，根据牛顿第二定律可知：°60°45°30°图4物块沿该斜面滑下的加速度为，斜面长为.据，则：∴∴。只有当时，才有最小值。可见沿倾角45°的斜面滑下时间最短。5．关于定和求积原理的应用两数和为常数，当两数相等时其乘积最大，由。若（定值），则当时：、的乘积有极大值。例5．已知，，电源电动势，电源内阻。问：变阻器滑动片在何处时，电源发热功率最小？图5解：设电源发热功率为，干路电流为据，可知：最小时，最小。又因：且知：R1R2R3ε.γkαPЬ据定和求积原理可知：当时，有最小值。即时，的

5、最小值为得：6．关于定积求和原理的应用两数乘积为常数时，两数相等时，其和值最小。由，若，则时，与的和值最小。例6：一架直升飞机，由静止开始以加速度从地面竖直上升到H的高度，若每秒耗油为，（、为常数）。为使耗量最低，应采用多大的加速度？最低耗量多大？解：设直升机加速度为，上升到H高度所用时间为则,耗油量。因（是常数）则当时，其和最小，而耗油量最小。可见此时：。最小耗油量为内容摘要：本文通过在物理解题过程中应用几种常用的数学求极值的方法，帮助学生认识到数学知识解物理问题时的重要性，并形成解决问题的数学意识和方法。关键词：物理问题，数学极值，定和求积，定积求和