物理习题中极值问题的数学求解方法

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1、物理习题中极值问题的数学求解方法江西宁都中学卢加英江西省宁都县342800本文结合平常的习题教学，将高中物理习题中的极值问题解法归纳分类，以飨读者。一、利用一元二次函数知识求极值设有二次函数若＜0则有极大值，当时，若＞0则有极小值，当时，例1：一辆汽车以10m/s的速度匀速直线行驶15s后，一辆摩托车从静止开始，在同一地点出发，以1m/s2的速度作匀加速直线运动追赶汽车，求二车何时相距最远？最远距离多大？解：设摩托车行驶t秒后二车相距S米，有10(t+15)－×1×t2=S即：S=－t2+10t+150

2、题中“何时相距最远”实际就是t为何值时，有最大值Smax依一元二次函数知识可知：t==10(s)时，Smax=200(m)例1也可以借助如下方法进行求解将S=－t2+10t+150变形为t2－10t－150＋S=0要使方程有解，则△=(－10)2－4××(－150＋S)≥0得S≤200m，即S最大值Smax=200m二、利用一元二次方程根的判别式求极值8应用该方法，宜选择适当的物理量作自变量，通过物理规律导出一个一元二次方程，利用△=b2－4≥0求解例2：如图一，顶角为的光滑圆锥置于磁感应强度为B，方向

3、竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+Q的小球沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的最小半径。解：以小球为研究对象，受重力mg，弹力FN及洛仑兹力f的作用，如图2建立坐标系设：轨道半径R在方向：①在方向：②③整理得：关于的一元二次方程中有实数解有△=Q2B2R2－4m2gRCot≥0R≥4m2gRCot/Q2B2即Rmin=4m2gCot/Q2B2三、利用三角函数的有界属性求极值设有三角函数(或)在定义域内一定有－1≤y≤1即ymax=1ymin=－1例3：某人与一平直公路距离

4、h=50m，一客车以速度v1=10m/s沿此公路匀速驶来，当客车与人距离S=200m时，人开始追赶，求人能追上客车的最小奔跑速度。解：如图3设该人沿OB方向以v2大小奔跑在B处追上客车在△AOC中，Sin=在△AOB中，即=·8可见当Sin极大时，极小时，Sin=1图3min=Sin=2.5m/s方向与OA垂直例4：质量为m的物体放在水平桌面上，设物体与桌面之间的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，则F方向如何才能使物体加速度最大？最大加速度是多少？图4解：以物体为研究对象，分析受力建立坐标系如图4根据F=

5、0得：Fcos+FN=mg由F=ma得：FSin－f=ma又f=μFN整理得物理问题又转化为上述函数问题，为值时取最大值,令=则Sin+可见当取极大值1时，即时四、利用分式函数的值域求极值设分式，当分母最大时有，当分母最小时有例5：一个质量为m1，速度为的物体与一个质量为m2的静止物体发生弹性正碰，求m2获得的最大动能？设碰撞后m1m2的速度分别为与解：因碰撞动量守恒弹性碰撞得8获得的动能===分子为定值，当时分母最小为1所以例6：如图5，有一半径的圆形木板浮在深度H=5.3m的水池水面上。在木板圆心的

6、正上方某一高度h处放置一个点光源。欲使池底影子的半径R为最大，试问这个高度h应为多少？另求影子的最大半径？已知水的折射率解：设入射角为，折射角为根据折射定律得：①又在△SMO中②在△ONP中=③图5整理得：在r、H、h为定值条件下，显然只有当h=0时分母最小为（实际情况，只能是h→0，→7m）五、利用均值不等式知识求极值由数学知识可知≥（），当且仅当时取等号8≥当且仅当时取等号例7：如图6所示电路中，已知电源电动热E=6V，内阻r=1，R1=3，R2=3，R为5的滑动变阻器，当滑片P滑到什么位置时电流表

7、读数最小？其值为多少？解：由闭合电路欧姆定律可知，当外电阻R＇为最大时，干路中电流最小，设R上在a、p音电阻为Rap则R＇=（R1+Rap）（R2+R－Rap）/（R1+R2+R）因（R1+Rap）+（R2+R－Rap）=R1+R2+R为定值当（R1+Rap）=（R2+R－Rap）即Rap=3时，图6Rmax=2.5所以Imin=例8：如图7所示，小球在光滑的轨道上由A静止开始运动，其中半径为R的环中段CD为缺口，问为何值时，小球完成ABCD路径所需的离地面高度h最小，且最小值是多少？解：以小球为研究对

8、象，从A→C过程满足机械能守恒，选择地面为重力势能为零势能面，有EA=EC①又小球在CD间做斜抛运动，有水平方向：②图7竖直方向：③整理得：h=R（1+）因是定值当时hmin=（1+）R例9：如图8所示，带电量均为+Q的点电荷相距为2L，MN是电荷连线的中垂线，求MN上场强的最大值。解：设P点的场强最大，∠PAO=则E=2（E1sin）8=2k即图8因定值所以当即时，E有最大值E六、利用，求极值由数学知识可知在实数范围内或一定有例10：质量