物理习题中极值问题的数学求解方法.docx

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1、物理习题中极值问题的数学求解方法江西宁都中学卢加英江西省宁都县342800本文结合平常的习题教学，将高中物理习题中的极值问题解法归纳分类，以飨读者。一、利用一元二次函数知识求极值设有二次函数yax2b)24acb2bxca(x2a2ab若a＜0则y有极大值，当x2ab若a＞0则y有极小值，当x2a4acb2时，ymax2a4acb2时，ymax2a例1：一辆汽车以10m/s的速度匀速直线行驶15s后，一辆摩托车从静止开始，在同一地点出发，以1m/s2的速度作匀加速直线运动追赶汽车，求二车何时相距最远？最远距离多大？矚慫润厲钐瘗

2、睞枥庑赖。解：设摩托车行驶t秒后二车相距S米，有110(t+15)－×1×t2=S2即：S=－1t2+10t+1502题中“何时相距最远”实际就是t为何值时，有最大值Smax依一元二次函数知识可知：t=b=10(s)时，2aSmax=200(m)例1也可以借助如下方法进行求解11将S=－t2+10t+150变形为t2－10t－150＋S=022要使方程有解，则△=(－10)2－4×1×(－150＋S)≥02得S≤200m，即S最大值Smax=200m二、利用一元二次方程根的判别式求极值应用该方法，宜选择适当的物理量作自变量，通过

3、物理规律导出一个一元二次方程，利用△=b2－4ac≥0求解例2：如图一，顶角为2的光滑圆锥置于磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+Q的小球沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的最小1/7半径。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解：以小球为研究对象，受重力mg，弹力FN及洛仑兹力f的作用，如图2建立坐标系设：轨道半径R在x方向：f2FNCOSm①R在y方向：FNSinmg0②fBQ③整理得：m2QRBmgRcot0关于的一元二次方程中有实数解有△=Q2B2R2－4m2gRCot≥0R≥4m2gR

4、Cot/Q2B2即Rmin=4m2gCot/Q2B2三、利用三角函数的有界属性求极值设有三角函数ySinx(或cosx)在定义域内一定有－1≤y≤1即ymax=1ymin=－1例3：某人与一平直公路距离h=50m，一客车以速度v1=10m/s沿此公路匀速驶来，当客车与人距离S=200m时，人开始追赶，求人能追上客车的最小奔跑速度。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解：如图3设该人沿OB方向以v2大小奔跑在B处追上客车在△AOC中，SinOC1ABOB=4在△AOB中，SinOASin即v1tv2tSinSinSinv2=Sin·v1可见当S

5、in极大时，v极小2时，Sin=12v2min=v1Sin=2.5m/s图3方向与OA垂直例4：质量为m的物体放在水平桌面上，设物体与桌面之间的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，则F方向如何才能使物体加速度最大？最大加速度是多少？酽锕极額閉镇桧猪訣锥。2/7解：以物体为研究对象，分析受力建立坐标系如图4根据Fy=0得：Fcos+FN=mg由Fx=ma得：FSin－f=ma又f=μFN整理得aF(Sincos)gm图4物理问题又转化为上述函数问题，为值时a取最大值,令=tan则Sin+Cos1Sin()Cos可见当Sin()取极大值

6、1时，即时2F12amaxgM四、利用分式函数的值域求极值设分式ya，当分母最大时有ymin，当分母最小时有ymaxxbm1，速度为v的物体与一个质量为例5：一个质量为m2的静止物体发生弹性正碰，求m2获得的最大动能？设碰撞后m1m2的速度分别为v1与v2解：因碰撞动量守恒mv1mv11m1v2弹性碰撞1m1v2121222m1v12m2v2得v1m1m2vv22m1vm1m2m1m2m2获得的动能Ek1m2v222=1m24m12v22(mm)212=4m1m21m1v2(m1m2)22=1m1v2/(m1m21)24m1m2

7、分子12m2时分母最小为12m1v为定值，当m13/7所以Ekmax1m1v22例6：如图5，有一半径r1m的圆形木板浮在深度H=5.3m的水池水面上。在木板圆心的正上方某一高度h处放置一个点光源。欲使池底影子的半径R为最大，试问这个高度h应为多少？另求影子的最大半径？已知水的折射率n4彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。3解：设入射角为i，折射角为根据折射定律得：nsinisin①又在△SMO中sinir/2r2h②在△ONP中sin=Rr/H2(Rr)2③整理得：Rr1Hr2h2r2(n21)图5在r、H、h为定值条件下，显然只有当h=0

8、时分母最小为rn21,RmaxrH17(m)n2（实际情况，只能是h→0，R→7m）max五、利用均值不等式知识求极值由数学知识可知ab≥ab（a.bR），当且仅当ab时取等号2x1x2xn≥x1x2xn(x1,x2xnR)当且仅当x1x2xn时取等号n例7：如